שינויים

למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על -מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

::<math>100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...\ldots</math>

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font> 

::<math>\begin{align}b_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...,\ldots\}</math>\\::<math>b_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\ldots\}</math>::<math>\\b_3&=\sup\{a_3,a_4,...\ldots\}</math>::::::<math>\\&\vdots</math>::<math>b_i\\b_k&=\sup\{a_ia_k,a_{ik+1},a_{ik+2},...\ldots\}\end{align}</math>

כלומראם כך, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' איברי סדרת החסמים <math>b_k</math> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרהחסומה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעילפי תרגיל מתקיים <math>\lim\limits_{k\to\infty}b_k=\inf\{b_1, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.b_2,b_3,\ldots\}</math>

אם כך, סדרת החסמים <mathfont size=3 color=#3c498e>b_i'''נגדיר'''</mathfont> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם את '''הגבול העליון''' של הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים <math>\lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\}a_n</math>להיות

<font size=3 color=#3c498e>'''נגדיר'''</font>את '''הגבול העליון''' של הסדרה <math>\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{k\to\infty}b_k</math> להיות

במילים בלתי מדוייקותבאופן דומה, '''הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף"התחתון''' הנו גבול החסמים התחתונים של קבוצות אברי הסדרה.

באופן דומה;העשרהסדרה הנה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה <math>A</math> , '''הגבול התחתון''' הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרהכלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\N\times A</math> .אם כך, אנו מגדירים <math>b_k:=\sup\Big[im\big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,k-1\})\times A\big]\Big]</math>

ולכן הגבול התחתון הנו <font sizemath>\liminf_{n\to\infty}a_n:=4 color\lim\limits_{i\to\infty}c_i=#a7adcd-1</math>'''דוגמאות *נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> .'''  :<math>b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1</math> :<math>b_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2}</fontmath>

*נביט בסדרה :<math>a_nb_3=(-\sup\left\{\frac{1)^n}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{3}</math>. נבנה את סדרת החסמים <math>b_i</math>:

ולכן הגבול העליון הינו::<math>c_1=\inf\left\limsup_{n1,\rightarrowfrac{1}{2},\inftyfrac{1} a_n:={3},\lim_frac{i1}{4},\rightarrowldots\right\infty}b_i=10</math>

נביט כעת בסדרת החסמים :<math>c_ic_3=\inf\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>:

ולכן הגבול התחתון הינו::הנו <math>\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=lim\lim_limits_{i\rightarrowto\infty}c_i=-10</math>

::<math>b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל-L..\}=1</math>

::<math>b_3font size=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},color=#a7adcd>'''תרגיל...\}=\frac{1}{3}'''</mathfont>

:::יהיו <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש- <math>\vdotsforall n:a_n\le b_n</math>. הוכח/הפרך:

::1. <math>b_i=\fraclimsup_{1n\to\infty}a_n\le\limsup_{in\to\infty}b_n</math>

ולכן הגבול העליון הינו 3. <math>\lim b_i=0liminf_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>

::<math>c_1=\inf\{;פתרון1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>הוכחה:

::*לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>c_2=a_{n_k}\infto\limsup_{n\fracto\infty}a_n</math>*לפי הנתון <math>a_{1n_k}\le b_{2n_k}</math>*לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת-סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}},\fracto\limsup_{1n\to\infty}b_{3n_k}</math>*כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה,ולכן <math>a_{n_{k_j}}\fracto\limsup_{1n\to\infty}a_n</math>*מכיון ש <math>b_{4n_{k_j}}</math> תת-סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math> .**כלומר,<math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math> הנו גבול חלקי של <math>b_n</math> ...*הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>*כמו כן, כיון ש- <math>a_{n_{k_j}}\le b_{n_{k_j}}</math> , הגבולות מקיימים את אותו היחס: <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}=0</math>

:::ביחד אנו מקבלים <math>\vdotslimsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>

לכן , לפי סעיף א', :<math>\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>:<math>-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>:<math>\liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\to\infty}(-b_n)</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת:<math>\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0</math>הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big]</math> ;הוכחה*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A. *כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf_{n\to\infty}a_n\in A</math> *כיון שהגבול החלקי העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקייםהגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>. *נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה *אזי קיימת סביבת אפסילון של c, '''המוכלת ממש בקטע''', בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה *נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקייםלא ישתנו כמובן. *כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ <math>c-\epsilon</math> וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ<math>c+\epsilon</math> *כיוון שנתון <math>\lim|a_{n+1}-a_n|=0</math> קיים <math>n_{2\epsilon}</math> כך שלכל <math>n>n_{2\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_{n+1}-a_n|<2\epsilon</math> *ניקח שני איברים <math>a_m,a_{m+k}</math> האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל.עוד נקבע כי <math>m>n_{2\epsilon}</math> (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)

'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל*המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ- L<math>2\epsilon</math> בסתירה.

יהיו תהיינה <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש <math>\forall n:a_n\leq b_n</math>חסומות. הוכח/הפרךהוכיחו כי:

1. ::<math>\liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n +b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>

3'''הוכחה. <math>\liminf a_n \leq \liminf b_n</math>'''

1*(שימו לב שתת הסדרה <math>a_{n_k}</math> לא בהכרח מתכנסת. הוכחה) *תת הסדרה <math>a_{n_k}</math> חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>. *כיוון שתת הסדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן <math>\lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n</math> *ביחד, אנו מקבלים כי <math>\lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}}</math> (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות). *כלומר, הראנו כי תת הסדרה <math>b_{n_{k_j}}</math> מתכנס. *ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן <math>\lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n</math> וכמו כן <math>\lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n</math> *ביחד מקבלים <math>\limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>, כפי שרצינו.    הצד השמאלי של אי השיוויון: *קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>b_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math> *תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math> *ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן <math>\liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}}</math>

* לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון כמו כן, כיוון שהסדרה <math>a_{n_k}\rightarrow \limsup a_n</math>* לפי הנתון <math>a_{n_k}\leq b_{n_k}</math>* לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\rightarrow\limsup b_{n_k}</math>* מתכנסת, כל תת סדרה של סדרה שלה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\rightarrow \limsup a_n</math>* מכיוון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת סדרה של <math>b_n</math> אזי לאותו הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math>.** כלומר, <math>\limsup lim b_{n_k}</math> הינו גבול חלקי של <math>b_n</math>.* הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup b_{n_k}\leq\limsup b_n</math>* כמו כן, כיוון ש <math>a_{n_{k_j}}= \leq lim b_{n_{k_jn_k}}</math>, הגבולות מקיימים את אותו היחס: <math>= \limsup a_n \leq \limsup b_{n_k}b_n</math>

ביחד אנו מקבלים *ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן <math>\limsup a_n lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup b_na_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.