שינויים

למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על -מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

::<math>100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...\ldots</math>

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font> 

::<math>\begin{align}b_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...,\ldots\}</math>\\::<math>b_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\ldots\}</math>::<math>\\b_3&=\sup\{a_3,a_4,...\ldots\}</math>::::::<math>\\&\vdots</math>::<math>b_i\\b_k&=\sup\{a_ia_k,a_{ik+1},a_{ik+2},...\ldots\}\end{align}</math>

כלומראם כך, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' איברי סדרת החסמים <math>b_k</math> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרהחסומה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעילפי תרגיל מתקיים <math>\lim\limits_{k\to\infty}b_k=\inf\{b_1, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.b_2,b_3,\ldots\}</math>

אם כך, סדרת החסמים <mathfont size=3 color=#3c498e>b_i'''נגדיר'''</mathfont> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם את '''הגבול העליון''' של הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים <math>\lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\}a_n</math>להיות

<font size=3 color=#3c498e>'''נגדיר'''</font>את '''הגבול העליון''' של הסדרה <math>\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{k\to\infty}b_k</math> להיות

במילים בלתי מדוייקותבאופן דומה, '''הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף"התחתון''' הנו גבול החסמים התחתונים של קבוצות אברי הסדרה.

באופן דומה;העשרהסדרה הנה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה <math>A</math> , '''הגבול התחתון''' הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרהכלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\N\times A</math> .אם כך, אנו מגדירים <math>b_k:=\sup\Big[im\big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,k-1\})\times A\big]\Big]</math>

*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>. נבנה את סדרת כעת בסדרת החסמים <math>b_ic_i</math>:

::<math>b_1c_1=\supinf\{-1,1\}=-1</math>::<math>b_2c_2=\supinf\{-1,1\}=-1</math>

ולכן הגבול העליון הינו::*נביט בסדרה <math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_frac{i\rightarrow\infty1}{n}b_i=1</math>.

נביט כעת בסדרת החסמים :<math>c_ib_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2}</math> :<math>b_3=\sup\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{3}</math>

ולכן הגבול התחתון הינו::העליון הנו <math>\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=lim\lim_limits_{i\rightarrowto\infty}c_ib_i=-10</math>

*נביט בסדרה :<math>a_nc_3=\inf\left\{\frac{1}{n3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>.

::::<math>b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=1vdots</math>

::<math>b_2c_i=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}0</math>

::ולכן הגבול התחתון הנו <math>b_3=\suplim\limits_{i\frac{1}{3},\frac{1}{4},...to\infty}c_i=\frac{1}{3}0</math>

ולכן '''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון הינו <math>\lim b_i=0</math>של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל-L.

::<math>c_2font size=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},color=#a7adcd>'''תרגיל...\}=0'''</mathfont>

::יהיו <math>c_3=\inf\{\frac{1}{3}a_n,b_n</math> סדרות כך ש- <math>\frac{1}{4},...forall n:a_n\}=0le b_n</math>. הוכח/הפרך:

:::1. <math>\vdotslimsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>

::2. <math>c_i=0\limsup_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>

==הקשר בין *לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>*לפי הנתון <math>a_{n_k}\le b_{n_k}</math>*לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת-סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>*כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>*מכיון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת-סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==חלקי של <math>b_n</math> .**כלומר, <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math> הנו גבול חלקי של <math>b_n</math> .*הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>*כמו כן, כיון ש- <math>a_{n_{k_j}}\le b_{n_{k_j}}</math> , הגבולות מקיימים את אותו היחס: <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>

'''משפט2.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה להפרכה פשוטה: <math>a_n=(- L.1)^n</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל3.''' </font>הוכחה:

יהיו ידוע מתרגילי הבית כי <math>\liminf_{n\to\infty}a_n,b_n</math> סדרות כך ש <math>=-\forall limsup_{n:\to\infty}{(-a_n\leq b_n)}</math>. הוכח/הפרך:

2. :<math>\limsup limsup_{n\to\infty}(-a_n )\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>:<math>-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>:<math>\liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\leq to\liminf infty}(-b_n)</math>

1. ;הוכחה:*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.

* לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול כיון שהגבול החלקי העליון <math>a_{n_k}\rightarrow \limsup a_n</math>* לפי הנתון <math>a_{n_k}\leq b_{n_k}</math>* לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\rightarrow\limsup b_{n_k}</math>* כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\rightarrow \limsup a_n</math>* מכיוון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math>.** כלומר, <math>\limsup b_{n_k}</math> הינו גבול חלקי של <math>b_n</math>.* (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלההתחתון, ולכן מתקיים <math>\limsup b_limsup_{n_k}n\leqto\limsup b_n</math>* כמו כןinfty}a_n, כיוון ש <math>a_\liminf_{n_{k_j}}n\to\leq b_{n_{k_jinfty}}</math>, הגבולות מקיימים את אותו היחס: <math>\limsup a_n \leq \limsup b_{n_k}in A</math>

ביחד אנו מקבלים *נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\limsup a_n in\leq Big(\liminf a_n,\limsup b_na_n\Big)</math>ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה

2*נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן. הפרכה פשוטה: <math>a_n=(-1)^n</math>

ידוע מתרגילי הבית *ניקח שני איברים <math>a_m,a_{m+k}</math> האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי <math>\liminf a_n = -\limsupm>n_{(-a_n)2\epsilon}</math>(זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)

לכן*נוציא מבין <math>a_m, לפי סעיף א'a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k}</math> זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל

::<math>\limsup (*המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ-a_n)\geq \limsup (-b_n)</math>::<math>-2\limsup (-a_n)\leq -\limsup (-b_n)</math>::<math>\liminf (-a_n)\leq \liminf (-b_n)epsilon</math>בסתירה.

תהי תהיינה <math>a_n,b_n</math> סדרה חסומה המקיימתסדרות חסומות. הוכיחו כי: ::<math>\lim|a_{nliminf a_n +1}-a_n|=0</math>הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[limsup b_n \liminf leq \limsup (a_n,+b_n) \leq \limsup a_n+ \Big]limsup b_n</math> 

*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים הצד הימני של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.אי השיוויון:

*כיוון שהגבול קיימת לסדרה <math>a_n+b_n</math> תת סדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> המתכנסת לגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n,\liminf a_n \in A+b_n</math>

*כיוון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם (שימו לב שתת הסדרה <math>x\in Aa_{n_k}</math> אזי לא בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>מתכנסת.)

*נניח בשלילה כי קיימת נקודה תת הסדרה <math>c\in\Big(\liminf a_na_{n_k}</math> חסומה,\limsup a_n\Big)ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה.

*אזי קיימת סביבת אפסילון של cכיוון שתת הסדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> מתכנסת, '''המוכלת ממש בקטע''', בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרהכל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן <math>\lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n</math>

*נזרוק מספר סופי ביחד, אנו מקבלים כי <math>\lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}}</math> (אריתמטיקה של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון גבולות של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובןסדרות מתכנסות).

*כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקיכלומר, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ הראנו כי תת הסדרה <math>c-\epsilon</math> וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ<math>c+\epsilonb_{n_{k_j}}</math>מתכנס.

*כיוון שנתון ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן <math>\lim|a_b_{n+1}-a_n|=0</math> קיים <math>n_{2k_j}} \leq \epsilon}limsup b_n</math> כך שלכל וכמו כן <math>n>n_{2\epsilon}</math> מתקיים <math>|lim a_{n+1n_{k_j}}-a_n|<2\epsilonleq \limsup a_n</math>

*ניקח שני איברים ביחד מקבלים <math>a_m,\limsup a_n+b_n=\lim a_{m+kn_{k_j}</math> האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי <math>m>}+b_{n_{2\epsilonk_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n</math> (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות), כפי שרצינו.

  הצד השמאלי של אי השיוויון: *המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>b_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math> *תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math> *ברור שכל גבול חלקי גדול מ-או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן <math>2\epsilonliminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}}</math> *כמו כן, כיוון שהסדרה <math>b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. כלומר <math>\lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n</math> *ביחד מקבלים כי <math>\liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math> *ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן <math>\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math> בסתירה. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.