הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות)
 
(5 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
==גבול עליון וגבול תחתון==
 
==גבול עליון וגבול תחתון==
למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:
+
למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על-מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:
  
::<math>100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...</math>
+
<math>100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots</math>
  
 
החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.
 
החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.
  
  
<font size=4 color=#3c498e>
+
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
'''הגדרה.'''
+
</font>
+
 
+
 
נגדיר  
 
נגדיר  
::<math>b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...\}</math>
+
:<math>\begin{align}
::<math>b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\}</math>
+
b_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\
::<math>b_3=\sup\{a_3,a_4,...\}</math>
+
b_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\b_3&=\sup\{a_3,a_4,\ldots\}\\&\vdots\\b_k&=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}
::::::<math>\vdots</math>
+
\end{align}</math>
::<math>b_i=\sup\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},...\}</math>
+
  
 +
כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' אברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק אבר.
  
כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' איברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.
+
אם כך, סדרת החסמים <math>b_k</math> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים <math>\lim\limits_{k\to\infty}b_k=\inf\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}</math>
  
אם כך, סדרת החסמים <math>b_i</math> מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים <math>\lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\}</math>
+
<font size=3 color=#3c498e>'''נגדיר'''</font> את '''הגבול העליון''' של הסדרה <math>a_n</math> להיות
  
<font size=3 color=#3c498e>
+
<math>\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{k\to\infty}b_k</math>
'''נגדיר'''
+
</font>
+
את '''הגבול העליון''' של הסדרה <math>a_n</math> להיות
+
  
::<math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i</math>
+
במילים בלתי-מדויקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".
  
במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".
+
באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הנו גבול החסמים התחתונים של קבוצות אברי הסדרה.
  
  
באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
+
;העשרה
 
+
סדרה הנה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה <math>A</math> , כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\N\times A</math> . אם כך, אנו מגדירים  
 
+
<math>b_k:=\sup\Big[im\big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,k-1\})\times A\big]\Big]</math>
 
+
 
+
'''העשרה:''' סדרה הינה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\mathbb{N}\times A</math>. אם כך, אנו מגדירים  
+
<math>b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big] </math>
+
 
+
 
+
 
+
<font size=4 color=#a7adcd>
+
'''דוגמאות.'''
+
</font>
+
  
*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>. נבנה את סדרת החסמים <math>b_i</math>:
 
  
::<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>
+
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמאות.</font>
::<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>
+
*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> . נבנה את סדרת החסמים <math>b_k</math> :
 +
:<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>
 +
:<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>
 
::::<math>\vdots</math>
 
::::<math>\vdots</math>
  
 +
ולכן הגבול העליון הנו <math>\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}b_i=1</math>
  
  
ולכן הגבול העליון הינו
+
נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math> :
::<math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i=1</math>
+
  
 
+
:<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>
נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math>:
+
:<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>
 
+
::<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>
+
::<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>
+
 
::::<math>\vdots</math>
 
::::<math>\vdots</math>
  
 +
ולכן הגבול התחתון הנו <math>\liminf_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}c_i=-1</math>
  
ולכן הגבול התחתון הינו
 
::<math>\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}c_i=-1</math>
 
  
 +
*נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> .
  
 +
:<math>b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1</math>
  
*נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math>.
+
:<math>b_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2}</math>
  
::<math>b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=1</math>
+
:<math>b_3=\sup\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{3}</math>
  
::<math>b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}</math>
+
::::<math>\vdots</math>
  
::<math>b_3=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{3}</math>
+
:<math>b_i=\frac{1}{i}</math>
  
:::<math>\vdots</math>
+
ולכן הגבול העליון הנו <math>\lim\limits_{i\to\infty}b_i=0</math>
  
::<math>b_i=\frac{1}{i}</math>
+
:<math>c_1=\inf\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>
  
 +
:<math>c_2=\inf\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>
  
ולכן הגבול העליון הינו <math>\lim b_i=0</math>
+
:<math>c_3=\inf\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>
  
::<math>c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
+
::::<math>\vdots</math>
  
::<math>c_2=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
+
:<math>c_i=0</math>
  
::<math>c_3=\inf\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
+
ולכן הגבול התחתון הנו <math>\lim\limits_{i\to\infty}c_i=0</math>
 
+
:::<math>\vdots</math>
+
 
+
::<math>c_i=0</math>
+
 
+
 
+
ולכן הגבול התחתון הינו <math>\lim c_i = 0</math>
+
  
 
==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==
 
==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==
 
+
'''משפט.''' לכל סדרה יש תת-סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.
'''משפט.''' לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.  
+
  
 
לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.
 
לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.
  
  
'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל- L.
+
'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל-L.
  
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
+
</font>
+
  
יהיו <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש <math>\forall n:a_n\leq b_n</math>. הוכח/הפרך:
+
יהיו <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש- <math>\forall n:a_n\le b_n</math> . הוכח/הפרך:
  
1. <math>\limsup a_n \leq \limsup b_n</math>
+
1. <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>
  
2. <math>\limsup a_n \leq \liminf b_n</math>
+
2. <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>
  
3. <math>\liminf a_n \leq \liminf b_n</math>
+
3. <math>\liminf_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n</math>
 
+
 
+
'''פתרון.'''
+
  
 +
;פתרון
 
1. הוכחה:
 
1. הוכחה:
  
* לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\rightarrow \limsup a_n</math>
+
*לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>
* לפי הנתון <math>a_{n_k}\leq b_{n_k}</math>
+
*לפי הנתון <math>a_{n_k}\le b_{n_k}</math>
* לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\rightarrow\limsup b_{n_k}</math>
+
*לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת-סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>
* כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\rightarrow \limsup a_n</math>
+
*כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}a_n</math>
* מכיוון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math>.
+
*מכיון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת-סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math> .
** כלומר, <math>\limsup b_{n_k}</math> הינו גבול חלקי של <math>b_n</math>.
+
**כלומר, <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math> הנו גבול חלקי של <math>b_n</math> .
* הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup b_{n_k}\leq\limsup b_n</math>
+
*הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>
* כמו כן, כיוון ש <math>a_{n_{k_j}}\leq b_{n_{k_j}}</math>, הגבולות מקיימים את אותו היחס:  
+
*כמו כן, כיון ש- <math>a_{n_{k_j}}\le b_{n_{k_j}}</math> , הגבולות מקיימים את אותו היחס:  
<math>\limsup a_n \leq \limsup b_{n_k}</math>
+
<math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>
  
  
ביחד אנו מקבלים <math>\limsup a_n \leq \limsup b_n</math>
+
ביחד אנו מקבלים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n</math>
  
  
שורה 147: שורה 119:
 
3. הוכחה:
 
3. הוכחה:
  
ידוע מתרגילי הבית כי <math>\liminf a_n = -\limsup{(-a_n)}</math>
+
ידוע מתרגילי הבית כי <math>\liminf_{n\to\infty}a_n=-\limsup_{n\to\infty}{(-a_n)}</math>
  
 
לכן, לפי סעיף א',
 
לכן, לפי סעיף א',
  
::<math>\limsup (-a_n)\geq \limsup (-b_n)</math>
+
:<math>\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>
::<math>-\limsup (-a_n)\leq -\limsup (-b_n)</math>
+
:<math>-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n)</math>
::<math>\liminf (-a_n)\leq \liminf (-b_n)</math>
+
:<math>\liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\to\infty}(-b_n)</math>
  
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
+
</font>
+
  
 
תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת
 
תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת
::<math>\lim|a_{n+1}-a_n|=0</math>
+
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0</math>
הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>
+
הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big]</math>
 
+
'''הוכחה.'''
+
  
 +
;הוכחה
 
*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.
 
*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.
  
*כיוון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup a_n,\liminf a_n \in A</math>
+
*כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf_{n\to\infty}a_n\in A</math>
  
*כיוון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>.
+
*כיון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>.
  
 
*נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה
 
*נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה
שורה 200: שורה 169:
 
'''הוכחה.'''
 
'''הוכחה.'''
  
*קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>a_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math>
+
הצד הימני של אי השיוויון:
 +
 
 +
*קיימת לסדרה <math>a_n+b_n</math> תת סדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> המתכנסת לגבול החלקי העליון <math>\lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n+b_n</math>
 +
 
 +
*(שימו לב שתת הסדרה <math>a_{n_k}</math> לא בהכרח מתכנסת.)
 +
 
 +
*תת הסדרה <math>a_{n_k}</math> חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>.
 +
 
 +
*כיוון שתת הסדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן <math>\lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n</math>
 +
 
 +
*ביחד, אנו מקבלים כי <math>\lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}}</math> (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות).
 +
 
 +
*כלומר, הראנו כי תת הסדרה <math>b_{n_{k_j}}</math> מתכנס.
 +
 
 +
*ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן <math>\lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n</math> וכמו כן <math>\lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n</math>
 +
 
 +
*ביחד מקבלים <math>\limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>, כפי שרצינו.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
הצד השמאלי של אי השיוויון:
 +
 
 +
*קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>b_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math>
  
 
*תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>
 
*תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>
שורה 209: שורה 201:
  
 
*ביחד מקבלים כי <math>\liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>
 
*ביחד מקבלים כי <math>\liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>
 +
 +
*ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן <math>\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.

גרסה אחרונה מ־12:04, 16 בפברואר 2017

חזרה לסדרות

גבול עליון וגבול תחתון

למדנו על חסמים על-מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots

החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.


הגדרה.

נגדיר

\begin{align}
b_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\
b_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\b_3&=\sup\{a_3,a_4,\ldots\}\\&\vdots\\b_k&=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}
\end{align}

כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת אברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק אבר.

אם כך, סדרת החסמים b_k מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים \lim\limits_{k\to\infty}b_k=\inf\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}

נגדיר את הגבול העליון של הסדרה a_n להיות

\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{k\to\infty}b_k

במילים בלתי-מדויקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".

באופן דומה, הגבול התחתון הנו גבול החסמים התחתונים של קבוצות אברי הסדרה.


העשרה

סדרה הנה פונקציה a_n=a(n) מהטבעיים לקבוצה A , כלומר יחס חד ערכי ושלם a\subseteq\N\times A . אם כך, אנו מגדירים b_k:=\sup\Big[im\big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,k-1\})\times A\big]\Big]


דוגמאות.
  • נביט בסדרה a_n=(-1)^n . נבנה את סדרת החסמים b_k :
b_1=\sup\{-1,1\}=1
b_2=\sup\{-1,1\}=1
\vdots

ולכן הגבול העליון הנו \limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}b_i=1


נביט כעת בסדרת החסמים c_i :

c_1=\inf\{-1,1\}=-1
c_2=\inf\{-1,1\}=-1
\vdots

ולכן הגבול התחתון הנו \liminf_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}c_i=-1


  • נביט בסדרה a_n=\frac{1}{n} .
b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1
b_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2}
b_3=\sup\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{3}
\vdots
b_i=\frac{1}{i}

ולכן הגבול העליון הנו \lim\limits_{i\to\infty}b_i=0

c_1=\inf\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0
c_2=\inf\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0
c_3=\inf\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0
\vdots
c_i=0

ולכן הגבול התחתון הנו \lim\limits_{i\to\infty}c_i=0

הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות

משפט. לכל סדרה יש תת-סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.

לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.


משפט. גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל-L.


תרגיל.

יהיו a_n,b_n סדרות כך ש- \forall n:a_n\le b_n . הוכח/הפרך:

1. \limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n

2. \limsup_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n

3. \liminf_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n

פתרון

1. הוכחה:

  • לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון a_{n_k}\to\limsup_{n\to\infty}a_n
  • לפי הנתון a_{n_k}\le b_{n_k}
  • לתת הסדרה b_{n_k} קיימת תת-סדרה השואפת לגבול העליון b_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}
  • כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן a_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}a_n
  • מכיון ש b_{n_{k_j}} תת-סדרה של b_n אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של b_n .
    • כלומר, \limsup_{n\to\infty}b_{n_k} הנו גבול חלקי של b_n .
  • הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים \limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\le\limsup_{n\to\infty}b_n
  • כמו כן, כיון ש- a_{n_{k_j}}\le b_{n_{k_j}} , הגבולות מקיימים את אותו היחס:

\limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_{n_k}


ביחד אנו מקבלים \limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n


2. הפרכה פשוטה: a_n=(-1)^n


3. הוכחה:

ידוע מתרגילי הבית כי \liminf_{n\to\infty}a_n=-\limsup_{n\to\infty}{(-a_n)}

לכן, לפי סעיף א',

\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n)
-\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n)
\liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\to\infty}(-b_n)


תרגיל.

תהי a_n סדרה חסומה המקיימת

\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0

הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של a_n שווה ל- \Big[\liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big]

הוכחה
  • נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה a_n ב-A.
  • כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים \limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf_{n\to\infty}a_n\in A
  • כיון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם x\in A אזי בהכרח x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big].
  • נניח בשלילה כי קיימת נקודה c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big) שאינה גבול חלקי של הסדרה
  • אזי קיימת סביבת אפסילון של c, המוכלת ממש בקטע, בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה
  • נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן.
  • כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ c-\epsilon וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מc+\epsilon
  • כיוון שנתון \lim|a_{n+1}-a_n|=0 קיים n_{2\epsilon} כך שלכל n>n_{2\epsilon} מתקיים |a_{n+1}-a_n|<2\epsilon
  • ניקח שני איברים a_m,a_{m+k} האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי m>n_{2\epsilon} (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)
  • נוציא מבין a_m,a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k} זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל
  • המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ-2\epsilon בסתירה.


תרגיל.

תהיינה a_n,b_n סדרות חסומות. הוכיחו כי:

\liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n+b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n


הוכחה.

הצד הימני של אי השיוויון:

  • קיימת לסדרה a_n+b_n תת סדרה a_{n_k}+b_{n_k} המתכנסת לגבול החלקי העליון \lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n+b_n
  • (שימו לב שתת הסדרה a_{n_k} לא בהכרח מתכנסת.)
  • תת הסדרה a_{n_k} חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת a_{n_{k_j}}.
  • כיוון שתת הסדרה a_{n_k}+b_{n_k} מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן \lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n
  • ביחד, אנו מקבלים כי \lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}} (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות).
  • כלומר, הראנו כי תת הסדרה b_{n_{k_j}} מתכנס.
  • ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן \lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n וכמו כן \lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n
  • ביחד מקבלים \limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n, כפי שרצינו.



הצד השמאלי של אי השיוויון:

  • קיימת תת סדרה b_{n_k} השואפת לגבול העליון של הסדרה b_n, כלומר \lim b_{n_k}=\limsup b_n
  • תת הסדרה המקבילה a_{n_k} אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת a_{n_{k_j}}
  • ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן \liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}}
  • כמו כן, כיוון שהסדרה b_{n_k} מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. כלומר \lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n
  • ביחד מקבלים כי \liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}
  • ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.