88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־23:56, 19 בנובמבר 2011 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לסדרות

גבול עליון וגבול תחתון

למדנו על חסמים על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...

החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.


הגדרה.

נגדיר

b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...\}
b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\}
b_3=\sup\{a_3,a_4,...\}
\vdots
b_i=\sup\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},...\}


כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.

אם כך, סדרת החסמים b_i מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים \lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\}

נגדיר את הגבול העליון של הסדרה a_n להיות

\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i

במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".


באופן דומה, הגבול התחתון הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.



העשרה: סדרה הינה פונקציה a_n=a(n) מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם a\subseteq\mathbb{N}\times A. אם כך, אנו מגדירים b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big]


דוגמאות.

  • נביט בסדרה a_n=(-1)^n. נבנה את סדרת החסמים b_i:
b_1=\sup\{-1,1\}=1
b_2=\sup\{-1,1\}=1
\vdots


ולכן הגבול העליון הינו

\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i=1


נביט כעת בסדרת החסמים c_i:

c_1=\inf\{-1,1\}=-1
c_2=\inf\{-1,1\}=-1
\vdots


ולכן הגבול התחתון הינו

\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}c_i=-1


  • נביט בסדרה a_n=\frac{1}{n}.
b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=1
b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}
b_3=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{3}
\vdots
b_i=\frac{1}{i}


ולכן הגבול העליון הינו \lim b_i=0

c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0
c_2=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0
c_3=\inf\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0
\vdots
c_i=0


ולכן הגבול התחתון הינו \lim c_i = 0

הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות

משפט. לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.

לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.


משפט. גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל- L.


תרגיל.

יהיו a_n,b_n סדרות כך ש \forall n:a_n\leq b_n. הוכח/הפרך:

1. \limsup a_n \leq \limsup b_n

2. \limsup a_n \leq \liminf b_n

3. \liminf a_n \leq \liminf b_n


פתרון.

1. הוכחה:

  • לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון a_{n_k}\rightarrow \limsup a_n
  • לפי הנתון a_{n_k}\leq b_{n_k}
  • לתת הסדרה b_{n_k} קיימת תת סדרה השואפת לגבול העליון b_{n_{k_j}}\rightarrow\limsup b_{n_k}
  • כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן a_{n_{k_j}}\rightarrow \limsup a_n
  • מכיוון ש b_{n_{k_j}} תת סדרה של b_n אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של b_n.
    • כלומר, \limsup b_{n_k} הינו גבול חלקי של b_n.
  • הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים \limsup b_{n_k}\leq\limsup b_n
  • כמו כן, כיוון ש a_{n_{k_j}}\leq b_{n_{k_j}}, הגבולות מקיימים את אותו היחס:

\limsup a_n \leq \limsup b_{n_k}


ביחד אנו מקבלים \limsup a_n \leq \limsup b_n