שינויים

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)

''';דוגמאות.'''*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...\ldots</math>

*<math>0,0.9,0.99,0.999,...\ldots</math>

*<math>1,\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{3}frac13,...\ldots</math>

''';משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}{n}dfrac1n+\frac{1}dfrac1{n+1}+...\cdots+\frac{1}dfrac1{3n}</math>

'''פתרון.'''נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים :<math>\displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\a_{n+1}-a_n=\leq frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align}</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

::לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}0</math>, ולכן הסדרה מתכנסת.

לכן הסדרה יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math> . כעת נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו): :<math>\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}</math> הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות. ;פתרוןאנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאברי <math>b_n</math> (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''. :<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=\dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0</math> אם כך, מתקיים כי  :<math>a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n</math> ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה . כמו כן :<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math> ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה. נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים: :<math>b_2\le b_n\le a_n\le a_2</math> ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה :<math>\begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases}</math> הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה. ;פתרוןנבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על -מנת שתתכנסלבדוק מונוטוניות: :<math>a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math> נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. אבל קל לראות לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה: עבור <math>n=1</math> : :<math>a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}<0</math> (זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot1=c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .)  נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל איברי אברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה (כל אבר בסדרה מוגדר על -ידי אפססכום של קבוע חיובי וריבוע), ולכן מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> . לפי החישוב לעיל מתקיים: :<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math> כפי שרצינו. על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת.נותר לנו לחשב את גבולה.  טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה. '''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n=L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה :<math>a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}</math> נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור) :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]</math> לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר: :<math>\begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align}</math> כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול). לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>