[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
==סדרות מונוטוניות==
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)
''';דוגמאות.'''*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...\ldots</math>
*<math>0,0.9,0.99,0.999,...\ldots</math>
*<math>1,\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{3}frac13,...\ldots</math>
''';משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}{n}dfrac1n+\frac{1}dfrac1{n+1}+...\cdots+\frac{1}dfrac1{3n}</math>
;פתרון
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
'''פתרון.'''נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים :<math>\displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\a_{n+1}-a_n=\leq frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align}</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
::לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}0</math>, ולכן הסדרה מתכנסת.
::<math>a_{n+1}-a_nfont size=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}4 color=0#a7adcd>'''תרגיל.'''</mathfont>
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math> . כעת נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.:<math>\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}</math>
הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.
;פתרוןאנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי <font size=4 color=#a7adcdmath>a_n</math> גדולים בהתאמה מאברי <math>b_n</math> (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם '''תרגיל.אי-שליליים''' </font>.
יהיו :<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\alpha,dfrac{a_n+b_n}{2}-\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1sqrt{a_n\cdot b_n}=\alpha,b_1dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\betadfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחאת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
אם כך, מתקיים כי
::<math>a_{n+1}=\fracdfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_na_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.
הוכיח נותר להראות כי שתי הסדרות מתכנסותחסומות.נשים לב כי מתקיים:
:<math>b_2\le b_n\le a_n\le a_2</math>
'''פתרון.''' אנו נוכיח כי ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''ולכן מתכנסות.
::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>
אם כך, מתקיים כי <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
::יהי <math>a_{n+0<c<1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>. נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה
ולכן :<math>\begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases}</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.;פתרוןנבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
:<math>a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
נותר להראות נראה כי הסדרות חסומותהפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. נשים לב לכן, נוכיח כי מתקייםהסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
::עבור <math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2n=1</math> :
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.:<math>a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}<0</math>
(זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot1=c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .)
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל אברי הסדרה חיוביים (כל אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> .
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>לפי החישוב לעיל מתקיים:
יהי :<math>0<c<a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה
כפי שרצינו.
:<math>a_1=c</math> על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
ונוסחאת הנסיגה
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
:'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{lim a_n^2}{2}=L</math>. נביט בנוסחת הנסיגה
:<math>a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}</math>
הוכח כי הסדרה נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת ומצא את גבולה., כאמור) :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]</math> לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר: :<math>\begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align}</math>
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
'''פתרון.'''לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>