'''פתרון.'''
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על מנת לבדוק מונוטוניות:
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} - (\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
עבור n=1:
:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math>
(זה נכון כיוון ש <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math>.)
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>. כיוון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי השיוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math>.
לפי החישוב לעיל מתקיים:
::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>
כפי שרצינו.
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על ידי אפס (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}</math>. זה נכון כיוון שגבול סדרה נקבע על פי המקום אליה האיברים שואפים באינסוף, ולא על פי מתי היא מתחילה.
'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיוון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש <math>\lim a_n = L</math>. נביט בנוסחאת הנסיגה
::<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיוון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
::<math>\lim a_{n+1}=\lim \frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
::<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math>
::<math>L^2-2L+c=0</math>
::<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math>
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיוון ש <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא ייתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
לכן סה"כ, גבול הסדרה הינו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>