הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סדרות מונוטוניות)
מ
שורה 7: שורה 7:
  
 
'''דוגמאות.'''
 
'''דוגמאות.'''
−
*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...</math>
+
*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots</math>
  
−
*<math>0,0.9,0.99,0.999,...</math>
+
*<math>0,0.9,0.99,0.999,\dots</math>
  
−
*<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>
+
*<math>1,\frac12,\frac13,\dots</math>
  
  
שורה 21: שורה 21:
 
</font>
 
</font>
  
−
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}</math>
+
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n}</math>
  
  
 
'''פתרון.'''
 
'''פתרון.'''
−
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\leq 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
+
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
  
−
::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math>
+
:<math>a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}</math>
  
 +
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0</math>
  
−
::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math>
+
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>0</math> , ולכן הסדרה מתכנסת.
−
 
+
−
 
+
−
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.
+
  
  
שורה 40: שורה 38:
 
</font>
 
</font>
  
−
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחאת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
+
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
−
 
+
−
 
+
−
::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>
+
−
 
+
  
−
::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math>
+
:<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>
  
 +
:<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}</math>
  
 
הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.
 
הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.
  
 +
'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''.
  
−
'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.
+
:<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0</math>
−
 
+
−
::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>
+
  
 
אם כך, מתקיים כי  
 
אם כך, מתקיים כי  
  
−
::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
+
:<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
  
 
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
 
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
  
−
::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
+
:<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
  
 
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.
 
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.
−
 
  
 
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
 
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
  
−
::<math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2</math>  
+
:<math>b_2\le b_n\le a_n\le a_2</math>
  
 
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
 
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
−
 
  
  
שורה 80: שורה 72:
 
</font>
 
</font>
  
−
יהי <math>0<c<1</math>. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה  
+
יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה  
−
 
+
  
 
:<math>a_1=c</math>  
 
:<math>a_1=c</math>  
  
−
ונוסחאת הנסיגה  
+
ונוסחת הנסיגה  
−
 
+
  
 
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
 
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
−
 
  
 
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
 
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
−
 
  
 
'''פתרון.'''
 
'''פתרון.'''
  
−
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על מנת לבדוק מונוטוניות:
+
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
  
−
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} - (\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
+
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
  
 
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
 
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
  
−
 
+
עבור <math>n=1</math> :
−
עבור n=1:
+
  
 
:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math>
 
:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math>
  
−
(זה נכון כיוון ש <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math>.)
+
(זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .)
  
  
−
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>. כיוון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי השיוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math>.
+
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> .
  
 
לפי החישוב לעיל מתקיים:
 
לפי החישוב לעיל מתקיים:
  
−
::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>
+
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>
  
 
כפי שרצינו.
 
כפי שרצינו.
  
 +
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי <math>0</math> (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
  
−
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על ידי אפס (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
 
  
 +
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
  
−
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}</math>. זה נכון כיוון שגבול סדרה נקבע על פי המקום אליה האיברים שואפים באינסוף, ולא על פי מתי היא מתחילה.
+
'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n = L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה
  
−
'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיוון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש <math>\lim a_n = L</math>. נביט בנוסחאת הנסיגה
+
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
  
−
::<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
+
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
  
−
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיוון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
+
:<math>\lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
−
 
+
−
::<math>\lim a_{n+1}=\lim \frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
+
  
 
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
 
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
  
−
::<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math>
+
:<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math>
−
 
+
−
::<math>L^2-2L+c=0</math>
+
  
−
::<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math>
+
:<math>L^2-2L+c=0</math>
  
−
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיוון ש <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא ייתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
+
:<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math>
  
 +
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
  
−
לכן סה"כ, גבול הסדרה הינו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>
+
לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>

גרסה מ־19:00, 3 בפברואר 2016

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

  • 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots
  • 0,0.9,0.99,0.999,\dots
  • 1,\frac12,\frac13,\dots


משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.


תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n}


פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים a_{n+1}-a_n\le 0 ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}
a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי 0 , ולכן הסדרה מתכנסת.


תרגיל.

יהיו \alpha,\beta>0 ונגדיר a_1=\alpha,b_1=\beta. כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}
b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}

הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה a_n גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה b_n (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם אי-שליליים.

a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0

אם כך, מתקיים כי

a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n

ולכן a_n מונוטונית יורדת. כמו כן

b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n

ולכן b_n מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

b_2\le b_n\le a_n\le a_2

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.


תרגיל.

יהי 0<c<1 . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה

a_1=c

ונוסחת הנסיגה

a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון.

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:

a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}

נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:

עבור n=1 :

a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0

(זה נכון כיון ש- c^2<c\cdot 1 = c לפי הנתון c<1 .)


נניח, אם כן, כי a_n-a_{n-1}<0 ונוכיח כי a_{n+1}-a_n<0 . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל a_n^2<a_{n-1}^2 .

לפי החישוב לעיל מתקיים:

a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0

כפי שרצינו.

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.


טענה חשובה אך קלה לבדיקה: \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש- \lim a_n = L . נביט בנוסחת הנסיגה

a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

\lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}

לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}
L^2-2L+c=0
L=1\pm\sqrt{1-c}

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- a_1=c<1<1+\sqrt{1-c} ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו L=1-\sqrt{1-c}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/סדרות/מונוטוניות&oldid=65272