שינויים

*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...\dots</math>

*<math>0,0.9,0.99,0.999,...\dots</math>

*<math>1,\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{3}frac13,...\dots</math>

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}frac1{n}+\frac{1}frac1{n+1}+...\cdots+\frac{1}frac1{3n}</math>

נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n </math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\leq le 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

::<math>a_{n+1}=\frac{1}frac1{n+1}+\frac{1}frac1{n+2}+...\cdots+\frac{1}frac1{3n+3}</math>

::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math>  לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על -מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על -ידי אפס<math>0</math> , ולכן הסדרה מתכנסת.

יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחאת נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):  ::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math> 

::<math>b_a_{n+1}=\sqrtfrac{a_nb_na_n+b_n}{2}</math>

'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''. ::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n_n-2\sqrt{a_nb_na_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq ge 0</math>

::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leqle\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>

::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_na_n\cdot b_n}\geqge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>

::<math>b_2\leq le b_n\leq le a_n \leq le a_2</math>

יהי <math>0<c<1</math>. נגדיר סדרה על -ידי תנאי ההתחלה  

ונוסחאת ונוסחת הנסיגה  

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על -מנת לבדוק מונוטוניות:

:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} - (\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>

 עבור <math>n=1</math> :

(זה נכון כיוון כיון ש - <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math>.)

נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>. כיוון כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על -ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי השיוויון -השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math>.

::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>

טענה חשובה אך קלה לבדיקה: '''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim_{n\rightarrow\infty}lim a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}L</math>. זה נכון כיוון שגבול סדרה נקבע על פי המקום אליה האיברים שואפים באינסוף, ולא על פי מתי היא מתחילה.נביט בנוסחת הנסיגה

'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיוון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש :<math>a_{n+1}=\lim frac{c}{2}+\frac{a_n = L^2}{2}</math>. נביט בנוסחאת הנסיגה

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיוון שזו סדרה מתכנסת, כאמור) ::<math>\lim a_{n+1}=\lim \frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>

::<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math> ::<math>L^2-2L+c=0</math>

::<math>L=1\pm\sqrt{1^2-2L+c}=0</math>

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיוון ש :<math>a_1L=c<1<1+\pm\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא ייתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הינו הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>