הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
שורה 1: שורה 1:
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
 
==סדרות מונוטוניות==
 
==סדרות מונוטוניות==
<font size=4 color=#3c498e>
+
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
'''הגדרה.'''  
+
סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)
</font>
+
סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)
+
  
'''דוגמאות.'''
+
;דוגמאות
*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots</math>
+
*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\ldots</math>
  
*<math>0,0.9,0.99,0.999,\dots</math>
+
*<math>0,0.9,0.99,0.999,\ldots</math>
  
*<math>1,\frac12,\frac13,\dots</math>
+
*<math>1,\frac12,\frac13,\ldots</math>
  
  
'''משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
+
;משפט
 +
סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
  
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
+
</font>
+
  
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n}</math>
+
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\dfrac1n+\dfrac1{n+1}+\cdots+\dfrac1{3n}</math>
  
 +
;פתרון
 +
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
  
'''פתרון.'''
+
:<math>\displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
+
a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align}</math>
 
+
:<math>a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}</math>
+
 
+
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0</math>
+
  
 
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>0</math> , ולכן הסדרה מתכנסת.
 
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>0</math> , ולכן הסדרה מתכנסת.
  
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
+
</font>
+
  
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
+
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math> . כעת נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
  
:<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>
+
:<math>\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}</math>
  
:<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}</math>
+
הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.
  
הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.
+
;פתרון
 +
אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאברי <math>b_n</math> (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''.
  
'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''.
+
:<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=\dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0</math>
 
+
:<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0</math>
+
  
 
אם כך, מתקיים כי  
 
אם כך, מתקיים כי  
  
:<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
+
:<math>a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
  
 
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
 
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
שורה 67: שורה 59:
  
  
 +
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה
'''תרגיל.'''
+
</font>
+
  
יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה
+
:<math>\begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases}</math>
 
+
:<math>a_1=c</math>
+
 
+
ונוסחת הנסיגה
+
 
+
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
+
  
 
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
 
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
  
'''פתרון.'''
+
;פתרון
 
+
 
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
 
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
  
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
+
:<math>a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
  
 
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
 
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
שורה 92: שורה 76:
 
עבור <math>n=1</math> :
 
עבור <math>n=1</math> :
  
:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math>
+
:<math>a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}<0</math>
  
(זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .)
+
(זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot1=c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .)
  
  
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> .
+
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל אברי הסדרה חיוביים (כל אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> .
  
 
לפי החישוב לעיל מתקיים:
 
לפי החישוב לעיל מתקיים:
שורה 105: שורה 89:
 
כפי שרצינו.
 
כפי שרצינו.
  
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי <math>0</math> (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
+
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
  
  
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
+
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
  
'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n = L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה
+
'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n=L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה
  
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
+
:<math>a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}</math>
  
 
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
 
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
  
:<math>\lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
+
:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]</math>
  
 
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
 
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
  
:<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math>
+
:<math>\begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align}</math>
 
+
:<math>L^2-2L+c=0</math>
+
 
+
:<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math>
+
  
 
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
 
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
  
 
לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>
 
לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>

גרסה אחרונה מ־13:01, 10 בפברואר 2017

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)

דוגמאות
  • 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\ldots
  • 0,0.9,0.99,0.999,\ldots
  • 1,\frac12,\frac13,\ldots


משפט

סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.


תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת a_n=\dfrac1n+\dfrac1{n+1}+\cdots+\dfrac1{3n}

פתרון

נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים a_{n+1}-a_n\le0 ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

\displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\
a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align}

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי 0 , ולכן הסדרה מתכנסת.


תרגיל.

יהיו \alpha,\beta>0 ונגדיר a_1=\alpha,b_1=\beta . כעת נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}

הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון

אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי a_n גדולים בהתאמה מאברי b_n (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם אי-שליליים.

a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=\dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0

אם כך, מתקיים כי

a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n

ולכן a_n מונוטונית יורדת. כמו כן

b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n

ולכן b_n מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

b_2\le b_n\le a_n\le a_2

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.


תרגיל.

יהי 0<c<1 . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה

\begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases}

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:

a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}

נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:

עבור n=1 :

a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}<0

(זה נכון כיון ש- c^2<c\cdot1=c לפי הנתון c<1 .)


נניח, אם כן, כי a_n-a_{n-1}<0 ונוכיח כי a_{n+1}-a_n<0 . כיון שכל אברי הסדרה חיוביים (כל אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל a_n^2<a_{n-1}^2 .

לפי החישוב לעיל מתקיים:

a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0

כפי שרצינו.

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.


טענה חשובה אך קלה לבדיקה: \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש- \lim a_n=L . נביט בנוסחת הנסיגה

a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]

לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

\begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align}

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- a_1=c<1<1+\sqrt{1-c} ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו L=1-\sqrt{1-c}