88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

• $1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots$

• $0,0.9,0.99,0.999,\dots$

• $1,\frac12,\frac13,\dots$

משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת $a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n}$

פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל $n$ מתקיים $a_{n+1}-a_n\le 0$ ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

$a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}$

$a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0$

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי $0$ , ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו $\alpha,\beta>0$ ונגדיר $a_1=\alpha,b_1=\beta$. כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$

$b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}$

הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה $a_n$ גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה $b_n$ (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם אי-שליליים.

$a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0$

אם כך, מתקיים כי

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n$

ולכן $a_n$ מונוטונית יורדת. כמו כן

$b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n$

ולכן $b_n$ מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

$b_2\le b_n\le a_n\le a_2$

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

תרגיל.

יהי $0<c<1$ . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה

$a_1=c$

ונוסחת הנסיגה

$a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}$

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון.

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:

$a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}$

נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:

עבור $n=1$ :

$a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0$

(זה נכון כיון ש- $c^2<c\cdot 1 = c$ לפי הנתון $c<1$ .)

נניח, אם כן, כי $a_n-a_{n-1}<0$ ונוכיח כי $a_{n+1}-a_n<0$ . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל $a_n^2<a_{n-1}^2$ .

לפי החישוב לעיל מתקיים:

$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0$

כפי שרצינו.

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי $0$ (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.

טענה חשובה אך קלה לבדיקה: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$ . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי $L$ כך ש- $\lim a_n = L$ . נביט בנוסחת הנסיגה

$a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}$

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

$\lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}$

לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

$L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}$

$L^2-2L+c=0$

$L=1\pm\sqrt{1-c}$

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- $a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}$ ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו $L=1-\sqrt{1-c}$