הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לסדרות ==סדרות קושי== הגדרת התכנסות סדרה ע...")
 
(סדרות קושי)
שורה 19: שורה 19:
  
 
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
 
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
 +
 +
<font size=4 color=#a7adcd>
 +
'''תרגיל.'''
 +
</font>
 +
 +
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
 +
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>
 +
 +
הוכח כי הסדרה מתכנסת
 +
 +
'''הוכחה.'''
 +
 +
נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilon >0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:
 +
 +
::<math>|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n+1}-a_n\Big|\leq</math>
 +
 +
לפי אי שיוויון המשולש זה קטן או שווה ל:
 +
 +
::<math>\Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}\leq</math>
 +
::<math>\leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}=</math>
 +
 +
 +
 +
כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>
 +
 +
 +
 +
::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math>
 +
 +
וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>
 +
 +
 +
 +
  
  
שורה 28: שורה 62:
 
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>
 
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>
  
הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
+
הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).
  
  

גרסה מ־00:34, 20 בנובמבר 2011

חזרה לסדרות

סדרות קושי

הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול L. אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים בשדה הרציונאליים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאליים.

נגדיר איפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.


הגדרה.

סדרה a_n נקראת סדרת קושי אם לכל \epsilon >0 קיים N_\epsilon\in\mathbb{N} כך שלכל m>n>N_\epsilon מתקיים |a_n-a_m|<\epsilon


במילים, אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון, אזי הסדרה הינה סדרת קושי.

משפט. מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

תרגיל.

תהי a_n סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה

a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}

הוכח כי הסדרה מתכנסת

הוכחה.

נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי \epsilon >0 כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:

|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n+1}-a_n\Big|\leq

לפי אי שיוויון המשולש זה קטן או שווה ל:

\Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}\leq
\leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}=


כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: \frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}


=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}

וכרגיל, עבור N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon} אנו מקבלים את מה שצריך לכל m>n>N_\epsilon




תרגיל.

תהי a_n סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה

a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}

הוכח כי \lim a_n = \infty (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).


הוכחה.

דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה מונוטונית עולה שכן a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1}>0.

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.


ניקח \epsilon =\frac{1}{2}. יהי N\in\mathbb{N} מקום כלשהו בסדרה, ויהי n>N. ניקח m=2n. מתקיים,

|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-...+a_{n+1}-a_n\Big|=
=\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{n+1}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}


ולכן מתקיימת שלילת ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.