==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלייםהרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלייםהרציונאלים.
נגדיר איפוא אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי שאברי הסדרה יתקרבו אחד לשניזה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>
במילים, אם לכל מרחק <font size=4 color=#3c498emath>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''הגדרה.כל שני אברים''' </font>שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.
סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>
;משפט.
מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
במיליםברור ממשפט זה, אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני איברים''' קטן מאפסילוןיחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , אזי הסדרה הינה סדרת קושישהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
'''משפט.''' מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>תהי סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים<math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\dfrac1{2^n}</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
;פתרון
נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
לפי הנתון:<font sizemath>\begin{align}|a_m-a_n|&=4 color\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=#a7adcd>\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\'''תרגיל.''' &=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0\end{align}</fontmath>
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>
;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח כי <math>\lim {a_n = \infty}</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
;פתרון
נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
'''הוכחהראשית, נשים לב כי <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> .'''
דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה מונוטונית עולה שכן נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n = |\frac{1}le p^{n+-1}>0d</math>.
לכןכעת, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.
<math>\begin{align}
|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\
&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0
\end{align}</math>
ניקח <math>\epsilon =\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math>. ניקח <math>m=2n</math>. מתקיים,(לפי מה שהראינו)
::מכיון ש- <math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math> . ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה <math>|a_{2nn+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math> הוכח כי הסדרה מתכנסת. ;הוכחהנוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\varepsilon>0</math> . צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\varepsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם: <math>\begin{align}|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{2n}m-1}+a_{2nm-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{2n-n+1}-a_n\Big|\\&\le|a_m-a_{2nm-21}|+\cdots+|a_{2nn+1}-a_n|=\dfrac1{m^2}+\cdots+\dfrac1{(n+1)^2}\\&\le\dfrac1{m(m-1)}+\cdots+\frac1{(n+1)n}\\&=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m+\dfrac1{m-2}-\dfrac1{m-1}+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1n-\dfrac1m\le\dfrac1n\end{align}</math> נעזרנו בנוסחא <math>\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k</math> וכרגיל, עבור <math>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\varepsilon</math> ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל...</font>תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה <math>a_{n+1}=a_n+\dfrac1{n+1}</math> הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף). ;הוכחהדבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n\Big|=\dfrac1{n+1}>0</math>. לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.
::ניקח <math>\varepsilon=\frac{1}{2n}+tfrac12</math>...+יהי <math>N\frac{1}{n+1}in\geq \frac{1}{2n}+N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> ...+\frac{1}{2n}ניקח <math>m=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>. מתקיים:
<math>\begin{align}|a_{2n}-a_n|&=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
&=\frac1{2n}+\cdots+\frac1{n+1}\ge\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\frac12\end{align}</math>
ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.
