שינויים

הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלייםהרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלייםהרציונאלים.

נגדיר איפוא אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי שאברי הסדרה יתקרבו אחד לשניזה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

במילים, אם לכל מרחק <font size=4 color=#3c498emath>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''הגדרה.כל שני אברים''' </font>שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.

במיליםברור ממשפט זה, אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני איברים''' קטן מאפסילוןיחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , אזי הסדרה הינה סדרת קושישהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>תהי סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים<math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\dfrac1{2^n}</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

;פתרוןנוכיח כי <font size=4 color=#a7adcdmath>'''תרגיל.''' \{a_n\}</fontmath>סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגהלפי הנתון::<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}=+a_{n+1}-a_n\Big|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\fraccdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{(n+1)}-a_n|\\&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0\end{align}</math>

'''הוכחה;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.'''

;פתרוןנוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilon >0{a_n\}</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילוןסדרת קושי, ולכן מתכנסת. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:

::ראשית, נשים לב כי <math>|a_ma_{n+1}-a_n|=\Bigle p|a_ma_n-a_{mn-1}+|\le p^2|a_{mn-1}-...+a_{n+-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_n\Biga_1|\leq</math>.

כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: מכיון ש- <math>p^n\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{to0</math> עבור <math>p<1}{m}</math>.

::<math>=\fraca_{1}{m-1}-\frac{1}{m}n+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+...=a_n+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n)^2}</math>

;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}dfrac1{n+1}</math>

הוכח כי <math>\lim \limits_{n\to\infty}a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).

 ''';הוכחה.''' דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n = \frac{1}dfrac1{n+1}>0</math>.

ניקח <math>\epsilon =\fracbegin{1align}{2}</math>. יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math>. ניקח <math>m=2n</math>. מתקיים, ::<math>|a_{2n}-a_n|&=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{2n-2}n+a_{2n-21}-...+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>\\ ::<math>&=\frac{1}frac1{2n}+...\cdots+\frac{1}frac1{n+1}\geq ge\frac{1}frac1{2n}+...\cdots+\frac{1}frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\fracfrac12\end{1}{2align}</math>