הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי"

גרסה אחרונה מ־01:27, 16 בפברואר 2017

סדרות קושי

הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול $L$ . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו $\sqrt2$ בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.

נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאברי הסדרה יתקרבו זה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

הגדרה.

סדרה $a_n$ נקראת סדרת קושי אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $N_\varepsilon\in\N$ כך שלכל $m>n>N_\varepsilon$ מתקיים $|a_m-a_n|<\varepsilon$

במילים, אם לכל מרחק $\varepsilon$ קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין כל שני אברים שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.

משפט.

מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- $\sqrt2$ , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

תרגיל.

תהי סדרה $\{a_n\}$ כך ש- $|a_n-a_{n-1}|<\dfrac1{2^n}$ . הוכח כי $\{a_n\}$ מתכנסת.

פתרון

נוכיח כי $\{a_n\}$ סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

לפי הנתון

\begin{align} |a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\ &<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\ &=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0 \end{align}

תרגיל.

תהי סדרה $\{a_n\}$ כך ש- $|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|$ עבור $0<p<1$ . הוכח כי $\{a_n\}$ מתכנסת.

פתרון

נוכיח כי $\{a_n\}$ סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

ראשית, נשים לב כי $|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|$ .

נסמן $d=|a_2-a_1|$ ולכן סה"כ $|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d$

כעת,

$\begin{align} |a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\ &\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0 \end{align}$

(לפי מה שהראינו)

מכיון ש- $p^n\to0$ עבור $p<1$ .

תרגיל.

תהי $a_n$ סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}$

הוכח כי הסדרה מתכנסת.

הוכחה

נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי $\varepsilon>0$ . צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- $\varepsilon$ . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

$\begin{align} |a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &\le|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\dfrac1{m^2}+\cdots+\dfrac1{(n+1)^2}\\&\le\dfrac1{m(m-1)}+\cdots+\frac1{(n+1)n}\\ &=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m+\dfrac1{m-2}-\dfrac1{m-1}+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1n-\dfrac1m\le\dfrac1n\end{align}$

נעזרנו בנוסחא $\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$

וכרגיל, עבור $N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}$ אנו מקבלים את מה שצריך לכל $m>n>N_\varepsilon$

תרגיל.

תהי $a_n$ סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

$a_{n+1}=a_n+\dfrac1{n+1}$

הוכח כי $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$ (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).

הוכחה

דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן $a_{n+1}-a_n=\dfrac1{n+1}>0$ .

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

ניקח $\varepsilon=\tfrac12$ . יהי $N\in\N$ מקום כלשהו בסדרה, ויהי $n>N$ . ניקח $m=2n$ . מתקיים:

$\begin{align}|a_{2n}-a_n|&=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &=\frac1{2n}+\cdots+\frac1{n+1}\ge\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\frac12\end{align}$

ולכן מתקיימת שלילת ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 ==סדרות קושי==
-הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול L. אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים בשדה הרציונאליים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאליים.
+הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.
-נגדיר איפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
+נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאברי הסדרה יתקרבו זה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
-<font size=4 color=#3c498e>
+;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
-'''הגדרה.'''
+סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>
-</font>
-סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>
+במילים, אם לכל מרחק <math>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.
-במילים, אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני איברים''' קטן מאפסילון, אזי הסדרה הינה סדרת קושי.
+;משפט.
+מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
-'''משפט.''' מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
+ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
-ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
+;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
+תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\dfrac1{2^n}</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
+;פתרון
+נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
-<font size=4 color=#a7adcd>
+לפי הנתון
-'''תרגיל.'''
+:<math>\begin{align}
-</font>
+|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
+&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\
+&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\
+&=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0
+\end{align}</math>
-תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
-'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
+;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
+תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
+;פתרון
+נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
-<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>
+ראשית, נשים לב כי <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> .
-<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<</math>
-<math>< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]</math> (לפי הנתון)
-<math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>
-<font size=4 color=#a7adcd>
-'''תרגיל.'''
-</font>
-תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
-'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
-דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math>
+נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>
 כעת,
-<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>
+<math>\begin{align}
+|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
+&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\
+&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0
+\end{align}</math>
-<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\leq</math>
+(לפי מה שהראינו)
-<math>\leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 </math> (לפי מה שהראנו)
+מכיון ש- <math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math> .
-מכיוון ש<math>p^n\rightarrow 0</math> עבור p<1.
+;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
+תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה
+<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>
-<font size=4 color=#a7adcd>
+הוכח כי הסדרה מתכנסת.
-'''תרגיל.'''
-</font>
-תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
+;הוכחה
-::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>
+נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\varepsilon>0</math> . צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\varepsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:
-הוכח כי הסדרה מתכנסת
+<math>\begin{align}
+|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
+&\le|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\dfrac1{m^2}+\cdots+\dfrac1{(n+1)^2}\\&\le\dfrac1{m(m-1)}+\cdots+\frac1{(n+1)n}\\
+&=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m+\dfrac1{m-2}-\dfrac1{m-1}+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1n-\dfrac1m\le\dfrac1n\end{align}</math>
-'''הוכחה.'''
+נעזרנו בנוסחא <math>\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k</math>
-נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilon >0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:
+וכרגיל, עבור <math>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\varepsilon</math>
-::<math>|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n+1}-a_n\Big|\leq</math>
-לפי אי שיוויון המשולש זה קטן או שווה ל:
+;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
+תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה
-::<math>\Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}\leq</math>
+<math>a_{n+1}=a_n+\dfrac1{n+1}</math>
-::<math>\leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}=</math>
+הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).
+;הוכחה
-כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>
+דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n=\dfrac1{n+1}>0</math> .
-::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math>
-וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>
-<font size=4 color=#a7adcd>
-'''תרגיל.'''
-</font>
-תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
-::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>
-הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).
-'''הוכחה.'''
-דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1}>0</math>.
 לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.
+ניקח <math>\varepsilon=\tfrac12</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים:
-ניקח <math>\epsilon =\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math>. ניקח <math>m=2n</math>. מתקיים,
+<math>\begin{align}|a_{2n}-a_n|&=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\
+&=\frac1{2n}+\cdots+\frac1{n+1}\ge\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\frac12\end{align}</math>
-::<math>|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-...+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>
-::<math>=\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{n+1}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
 ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי"

גרסה אחרונה מ־01:27, 16 בפברואר 2017

סדרות קושי

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים