שינויים

הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלייםהרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלייםהרציונאלים.

נגדיר איפוא אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי שאברי הסדרה יתקרבו אחד לשניזה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>סדרה <math>a_n</math> נקראת '''הגדרה.סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</fontmath> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>

סדרה במילים, אם לכל מרחק <math>a_n\varepsilon</math> נקראת קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''סדרת קושיכל שני אברים''' אם לכל <math>\epsilon >שואף ל-0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.

במילים, ;משפט.מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני איברים''' קטן מאפסילון, אזי הסדרה הינה "ם היא סדרת קושי.

'''משפט.''' ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושיהרציונאליים.

לפי הנתון:<font sizemath>\begin{align}|a_m-a_n|&=4 color\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=#a7adcd>\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\'''תרגיל.''' &=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0\end{align}</fontmath>

'''פתרון''': נוכיח ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש - <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math> <math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<</math> <math>< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]</math> (לפי הנתון) <math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת. '''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. דבר ראשוןראשית, נשים לב ש- כי <math>|a_{n+1}-a_n|\leq le p|a_n-a_{n-1}|\leq le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...le\cdots\leq le p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math> 

<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\leq \&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0\end{align}</math>

מכיון ש- <math>\leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-to0</math> עבור <math>p^{m-n-<1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 </math> (לפי מה שהראנו).

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגילהוכח כי הסדרה מתכנסת.''' </font>

תהי ;הוכחהנוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>a_n\varepsilon>0</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה::. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}varepsilon</math>. נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon varepsilon>0\dfrac1{\varepsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\varepsilon</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:

::<math>\Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-=a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\fracdfrac1{1}{(n+1)^2}\leq</math>::<math>\leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}=</math>

 כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>   ::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math> וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>      <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math> הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).  ''';הוכחה.''' דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n = \frac{1}dfrac1{n+1}>0</math>.

ניקח <math>\epsilon =\fracbegin{1align}{2}</math>. יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math>. ניקח <math>m=2n</math>. מתקיים, ::<math>|a_{2n}-a_n|&=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{2n-2}n+a_{2n-21}-...+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>\\ ::<math>&=\frac{1}frac1{2n}+...\cdots+\frac{1}frac1{n+1}\geq ge\frac{1}frac1{2n}+...\cdots+\frac{1}frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\fracfrac12\end{1}{2align}</math>