שינויים

סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m,>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>

;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח ש- כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

נוכיח ש- כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

דבר ראשוןראשית, נשים לב ש- כי <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> .  נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>

<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0\end{align}</math>

מכיון ש- <math>\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=to0</math> עבור <math>p^{n-<1}d\left(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0</math> (לפי מה שהראינו).

נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilonvarepsilon>0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilonvarepsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\dfrac1{m^2}+\cdots+\dfrac1{(n+1)^2}\\&\le\dfrac1{m(m-1)}+\cdots+\frac1{(n+1)n}\\&=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m+\dfrac1{m-2}-\dfrac1{m-1}+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1n-\dfrac1m\le\dfrac1n\end{align}</math>

לפי אינעזרנו בנוסחא <math>\dfrac1{k(k-שוויון המשולש זה קטן או שווה ל:1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k</math>

וכרגיל, עבור <math>|a_m-a_{m-1}|+N_\cdots+|a_varepsilon>\dfrac1{n+1}-a_n|=\frac{1varepsilon}{</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m^2}+\cdots+\frac{1}{(>n+1)^2}>N_\levarepsilon</math>

כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math> <math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le\frac{1}{n}</math> וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon>\frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>  ;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על -ידי כלל הנסיגה

:<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}dfrac1{n+1}</math>

דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}dfrac1{n+1}>0</math>.

ניקח <math>\epsilonvarepsilon=\frac{1}{2}tfrac12</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים, <math>|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>:

<math>\begin{align}|a_{2n}-a_n|&=\fracBig|a_{12n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots+\frac-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\geBig|\frac{1}\&=\frac1{2n}+\cdots+\fracfrac1{n+1}\ge\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}frac12\end{2align}</math>