שינויים
/* סדרות קושי */
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>
הוכח כי הסדרה מתכנסת
'''הוכחה.'''
נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\epsilon >0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:
::<math>|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n+1}-a_n\Big|\leq</math>
לפי אי שיוויון המשולש זה קטן או שווה ל:
::<math>\Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}\leq</math>
::<math>\leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}=</math>
כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>
::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math>
וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>
הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).
