שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלייםהרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלייםהרציונאלים.
נגדיר איפוא אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>
במילים, אם לכל מרחק אפסילון <math>\epsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני איבריםאברים''' קטן מאפסילוןשואף לאפס, אזי הסדרה הינה הנה סדרת קושי.
'''משפט.''' מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתייםל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
תהי סדרה <font size=4 color=#a7adcdmath>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>'''תרגיל.''' הוכח ש- <math>\{a_n\}</fontmath>מתכנסת.
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ;פתרוןנוכיח ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
'''פתרון''': נוכיח ש <math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\}le</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
<math>\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|<</math>
<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_<\frac{m-1}+a_{2^m-}+\frac{1}-a_{2^{m-21}}+...-a_\cdots+\frac{1}{2^{n+1}+a_}=\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1}{2^{m-a_n|n-1}}+\cdots+1\leq right]</math>(לפי הנתון)
<math>=\leq |a_m-a_frac{m-1}|{2^{n+|a_1}}\left[\frac{m1-\frac{1}-a_{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}|+...+|a_}\right]=\frac{1}{2^n+}\left[1-\frac{1}{2^{m-a_n|<n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0</math>
<math>< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]</math> (לפי הנתון)
<math>font size=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]4 color=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0#a7adcd>'''תרגיל.'''</mathfont>
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח ש- <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
<font size=4 color=#a7adcd>;פתרון'''תרגיל.''' </font> תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך נוכיח ש <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת. '''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math> 
דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> . נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>
כעת,
<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq le</math>
<math>\leq le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...\cdots+|a_{n+1}-a_n|\leq</math>
<math>\leq le p^{m-2}d+...\cdots+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right) \leq le p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 to0</math> (לפי מה שהראנושהראינו)
מכיוון מכיון ש- <math>p^n\rightarrow 0to0</math> עבור p<1.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
תהי <font size=4 color=#a7adcdmath>'''תרגיל.''' a_n</fontmath>סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}</math>
הוכח כי הסדרה מתכנסת.
''';הוכחהנוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת.'''יהי <math>\epsilon>0</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:
נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>|a_m-a_n|=\epsilon >0Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|\le</math> כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:
::<math>|a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n+1}-a_n\Big|\leq</math> לפי אי שיוויון -שוויון המשולש זה קטן או שווה ל: ::<math>\Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}\leq</math>::<math>\leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}=</math>
<math>|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{m^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}\le</math>
<math>\le\frac{1}{m(m-1)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)n}=</math>
כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: <math>\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}</math>
<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le\frac{1}{n}</math>
וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon>\frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>
::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math>
וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>      <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>
הוכח כי :<math>\lim a_{n+1}=a_n = +\inftyfrac{1}{n+1}</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).
הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).
'''הוכחה.'''
;הוכחהדבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1}>0</math>.
לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.
ניקח <math>\epsilon=\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים,
ניקח <math>\epsilon =\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math>. ניקח <math>m=2n</math>. מתקיים, ::<math>|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-...\cdots+a_{n+1}-a_n\Big|=</math> ::<math>=\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{n+1}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
<math>=\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{n+1}\ge\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>
ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.
226
עריכות