הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תתי סדרות)
שורה 1: שורה 1:
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
 +
 +
==סדרות מונוטוניות==
 +
<font size=4 color=#3c498e>
 +
'''הגדרה.'''
 +
</font>
 +
סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)
 +
 +
'''דוגמאות.'''
 +
*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...</math>
 +
 +
*<math>0,0.9,0.99,0.999,...</math>
 +
 +
*<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>
  
 
==תתי סדרות==
 
==תתי סדרות==
 
תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:
 
תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:
  
'''הגדרה.''' תהי סדרה ממשית <math>a_m</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה תת סדרה של <math>a_n</math>.  
+
<font size=4 color=#3c498e>
 +
'''הגדרה.'''  
 +
</font>
 +
תהי סדרה ממשית <math>a_m</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה תת סדרה של <math>a_n</math>.  
  
 
הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין <math>n_i</math> לבין <math>n_{i+1}</math> לכל i).
 
הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין <math>n_i</math> לבין <math>n_{i+1}</math> לכל i).
שורה 14: שורה 30:
  
  
'''הגדרה.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה <math>a_{n_k}</math> כך ש- L הוא גבול שלה.
+
<font size=4 color=#3c498e>
 +
'''הגדרה.'''  
 +
</font>
 +
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה <math>a_{n_k}</math> כך ש- L הוא גבול שלה.
  
 
'''משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon >0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|<\epsilon</math>
 
'''משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon >0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|<\epsilon</math>
  
 
במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
 
במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

גרסה מ־07:18, 2 בנובמבר 2011

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

  • 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...
  • 0,0.9,0.99,0.999,...
  • 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...

תתי סדרות

תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:

הגדרה. תהי סדרה ממשית a_m ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים n_k (כלומר, n_1<n_2<n_3<...). אזי a_{n_k} הינה תת סדרה של a_n.

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין n_i לבין n_{i+1} לכל i).


דוגמא. נביט בסדרה a_n=(-1)^n ובסדרת המספרים הטבעיים n_k=2k אזי a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה a_1,a_2,a_3,... אזי תת סדרה אחת שלה תהא a_1,a_3,a_{15},a_{85},...


הגדרה. תהא a_n סדרה. אזי L נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה a_{n_k} כך ש- L הוא גבול שלה.

משפט. תהא a_n סדרה. אזי L גבול חלקי שלה אם"ם לכל \epsilon >0 ולכל N\in\mathbb{N} קיים n>N כך ש |a_n-L|<\epsilon

במילים, קיימים אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).