הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תתי סדרות)
(תתי סדרות)
שורה 26: שורה 26:
 
במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
 
במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
  
 +
'''משפט.''' סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול L
 +
 +
'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.
  
 
'''משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.
 
'''משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.
 +
 +
  
 
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
 
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)

גרסה מ־11:12, 10 בנובמבר 2011

חזרה לסדרות

תתי סדרות

תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:

הגדרה. תהי סדרה ממשית a_m ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים n_k (כלומר, n_1<n_2<n_3<...). אזי a_{n_k} הינה תת סדרה של a_n.

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין n_i לבין n_{i+1} לכל i).


דוגמא. נביט בסדרה a_n=(-1)^n ובסדרת המספרים הטבעיים n_k=2k אזי a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה a_1,a_2,a_3,... אזי תת סדרה אחת שלה תהא a_1,a_3,a_{15},a_{85},...


הגדרה. תהא a_n סדרה. אזי L נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה a_{n_k} השואפת ל-L.

משפט. תהא a_n סדרה. אזי L גבול חלקי שלה אם"ם לכל \epsilon >0 ולכל N\in\mathbb{N} קיים n>N כך ש |a_n-L|<\epsilon

במילים, קיימים אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט. סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול L

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

משפט בולצאנו ויירשטראס. לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.


הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)