הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תתי סדרות)
(גבול תחתון וגבול עליון)
שורה 36: שורה 36:
  
 
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
 
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
 
==גבול תחתון וגבול עליון==
 

גרסה מ־19:16, 10 בנובמבר 2011

חזרה לסדרות

תתי סדרות

תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:

הגדרה. תהי סדרה ממשית a_m ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים n_k (כלומר, n_1<n_2<n_3<...). אזי a_{n_k} הינה תת סדרה של a_n.

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין n_i לבין n_{i+1} לכל i).


דוגמא. נביט בסדרה a_n=(-1)^n ובסדרת המספרים הטבעיים n_k=2k אזי a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה a_1,a_2,a_3,... אזי תת סדרה אחת שלה תהא a_1,a_3,a_{15},a_{85},...


הגדרה. תהא a_n סדרה. אזי L נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה a_{n_k} השואפת ל-L.

משפט. תהא a_n סדרה. אזי L גבול חלקי שלה אם"ם לכל \epsilon >0 ולכל N\in\mathbb{N} קיים n>N כך ש |a_n-L|<\epsilon

במילים, קיימים אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט. סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול L

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.



משפט בולצאנו ויירשטראס. לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.

הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)