הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תתי סדרות)
 
(5 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
  
==תתי סדרות==
+
==תתי-סדרות==
תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:
+
תת-סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:
  
<font size=4 color=#3c498e>
+
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
'''הגדרה.'''
+
תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר <math>n_1<n_2<n_3<\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הנה תת-סדרה של <math>a_n</math> .
</font>
+
תהי סדרה ממשית <math>a_m</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה תת סדרה של <math>a_n</math>.  
+
  
הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין <math>n_i</math> לבין <math>n_{i+1}</math> לכל i).
+
הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין <math>n_k</math> לבין <math>n_{k+1}</math> לכל <math>k</math>).
  
  
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.
+
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הנה תת-סדרה של הסדרה המקורית.
  
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,...</math> אזי תת סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},...</math>
+
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,\ldots</math> אזי תת-סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},\ldots</math>
  
  
<font size=4 color=#3c498e>
+
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
'''הגדרה.'''
+
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> .
</font>
+
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה <math>a_{n_k}</math> השואפת ל-L.
+
  
'''משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon >0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|<\epsilon</math>
+
;משפט.
 +
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\varepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .
  
במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
+
במילים, '''קיימים''' אינסוף אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
  
'''משפט.''' סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול L
+
;משפט.
 +
סדרה מתכנסת לגבול <math>L</math> אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .
  
'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.
+
'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול <math>K</math> וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K</math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.
  
  
  
 
+
;משפט בולצאנו ויירשטראס.
'''משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.
+
לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.
  
 
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
 
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
  
==גבול תחתון וגבול עליון==
+
;משפט.
 +
תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> .
 +
 
 +
;הוכחה.
 +
לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)
 +
 
 +
 
 +
;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
 +
מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</math>
 +
 
 +
;פתרון
 +
נביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math>
 +
 
 +
באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?
 +
 
 +
נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.
 +
 
 +
 
 +
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
 +
לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:
 +
:<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>
 +
 
 +
 
 +
;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
 +
 
 +
מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.
 +
 
 +
;פתרון
 +
נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.
 +
 
 +
בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.

גרסה אחרונה מ־12:15, 16 בפברואר 2017

חזרה לסדרות

תתי-סדרות

תת-סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:

הגדרה.

תהי סדרה ממשית a_n ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים n_k (כלומר n_1<n_2<n_3<\cdots). אזי a_{n_k} הנה תת-סדרה של a_n .

הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין n_k לבין n_{k+1} לכל k).


דוגמא. נביט בסדרה a_n=(-1)^n ובסדרת המספרים הטבעיים n_k=2k אזי a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 הנה תת-סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה a_1,a_2,a_3,\ldots אזי תת-סדרה אחת שלה תהא a_1,a_3,a_{15},a_{85},\ldots


הגדרה.

תהא a_n סדרה. אזי L נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה a_{n_k}\to L .

משפט.

תהא a_n סדרה. אזי L גבול חלקי שלה אם"ם לכל \varepsilon>0 ולכל N\in\N קיים n>N כך ש- |a_n-L|<\varepsilon .

במילים, קיימים אינסוף אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט.

סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול L .

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.


משפט בולצאנו ויירשטראס.

לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.

הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)

משפט.

תהי a_n סדרה המתכנסת לגבול L . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול L .

הוכחה.

לפי הגדרת הגבול, לכל \varepsilon יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי \varepsilon . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי \varepsilon החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)


תרגיל.

מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)

פתרון

נביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5

באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- -5 . האם \pm5 הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?

נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים או אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- \pm5 כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.


דוגמא.

לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:

1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots


תרגיל.

מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.

פתרון

נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים \Q . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.

בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.