שינויים
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
==תתי -סדרות==תת -סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייקבמדויק:
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי סדרה ממשית <math>a_ma_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה הנה תת -סדרה של <math>a_n</math>.
הערה: שימו לב שמכיוון שמכיון שההגדרה המדוייקת המדויקת של סדרה הינה הנה פונקציה, תת -סדרה הינה הנה הרכבה של פונקצית פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים אברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים האברים שבין <math>n_i</math> לבין <math>n_{i+1}</math> לכל i).
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הינה הנה תת -סדרה של הסדרה המקורית.
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots</math> אזי תת -סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},...\ldots</math>
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת -סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> השואפת ל-L.
'''משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon >0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש - <math>|a_n-L|<\epsilon</math>.
במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
'''משפט.''' סדרה מתכנסת לגבול <math>L </math> אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .
'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת -סדרה המתכנסת לגבול <math>K </math> וקיימת תת -סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K </math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.
'''משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת -סדרה מתכנסמתכנסת.
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> .
'''הוכחה.''' לפי הגדרת הגבול, לכל אפסילון <math>\epsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון<math>\epsilon</math> . כיוון שאיברי כיון שאברי תת -הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות , גם איבריה אבריה קרובים לגבול עד כדי אפסילון <math>\epsilon</math> החל ממקום מסויים מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיוון כיון שאולי זרקנו איברים אברים בדרך.)
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n(5-\frac{4}{2^n})</math>
נביט בתת הסדרה המורכבת מהאיברים הזוגיים <math>a_{2k}=(5-\frac{4}{2^{2k}}\rightarrow 5to5-0=5</math>
באופן דומה סדרת האי -זוגיים שואפת למינוס ל- <math>-5</math> . האם חמש ומינוס חמש הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?
נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת -סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת -סדרה זו אינסוף איברים אברים זוגיים '''או''' אינסוף איברים אברים אי -זוגיים. נביט בתת -הסדרה המורכבת מאינסוף איברים אברים אילו בתוך תת -הסדרה. מצד אחד הם שואפים לפלוס או מינוס חמש ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת -סדרה של האיברים האברים הזוגיים או האי -זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיוון מכיון שהם מהווים תת -סדרה של תת -הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font>
לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.
נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\mathbb{Q}</math>. כיוון כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי -סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.
בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדוייקומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.
