88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־23:43, 10 בנובמבר 2011 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (תתי סדרות)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לסדרות

תתי סדרות

תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:

הגדרה. תהי סדרה ממשית a_m ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים n_k (כלומר, n_1<n_2<n_3<...). אזי a_{n_k} הינה תת סדרה של a_n.

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין n_i לבין n_{i+1} לכל i).


דוגמא. נביט בסדרה a_n=(-1)^n ובסדרת המספרים הטבעיים n_k=2k אזי a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה a_1,a_2,a_3,... אזי תת סדרה אחת שלה תהא a_1,a_3,a_{15},a_{85},...


הגדרה. תהא a_n סדרה. אזי L נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה a_{n_k} השואפת ל-L.

משפט. תהא a_n סדרה. אזי L גבול חלקי שלה אם"ם לכל \epsilon >0 ולכל N\in\mathbb{N} קיים n>N כך ש |a_n-L|<\epsilon

במילים, קיימים אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט. סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול L

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.



משפט בולצאנו ויירשטראס. לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.

הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)

משפט. תהי a_n סדרה המתכנסת לגבול L. אזי כל תת סדרה שלה מתכנסת לגבול L

הוכחה. לפי הגדרת הגבול, לכל אפסילון יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון. כיוון שאיברי תת הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות , גם איבריה קרובים לגבול עד כדי אפסילון החל ממקום מסויים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיוון שאולי זרקנו איברים בדרך.)