הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/גזירות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הגדרת הנגזרת)
שורה 43: שורה 43:
  
  
−
==רציפות הנגזרת==
 
  
 
==אריתמטיקה של נגזרות==
 
==אריתמטיקה של נגזרות==
שורה 68: שורה 67:
 
שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>
 
שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>
  
 +
==רציפות הנגזרת==
  
 
==פרמה, רול ולגראנז'==
 
==פרמה, רול ולגראנז'==

גרסה מ־16:38, 15 בינואר 2012

חזרה לפונקציות

הגדרת הנגזרת

נגזרת, באופן אינטואיטיבי, מודדת את השיפוע של הפונקציה בנקודה. בדומה למושגים קודמים כמו גבול וסכום טור, אנו נותנים הגדרה מדוייקת ל'שיפוע' התואמת את ההגיון ובודקים אילו מן הפונקציות מקיימות הגדרה זו.

שיפוע של קו ישר מוגדר על ידי המרחק בציר y חלקי המרחק בציר x. נביט בקו y(x)=mx+b, אזי השיפוע שלו הוא:

\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{mx_1+b-(mx_2+b)}{x_1-x_2}=m


אם כך, נגדיר שיפוע של פונקציה כללית, לפי גבול שיפועים של קוים ישרים. לכל נקודה בסביבת x_0 נמדוד את השיפוע של הקו הישר בין שתי תמונות הפונקציה מעל הנקודה שבחרנו ומעל x_0. הנגזרת, או השיפוע, בx_0 מוגדר להיות גבול השיפועים לעיל כאשר הנקודות מתקרבות לx_0.


הגדרה.

תהי f פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה x_0. אזי הפונקציה גזירה בנקודה x_0 אם הגבול הבא קיים וסופי:

f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}


שימו לב, קל להוכיח שהגדרת הנגזרת שקולה ושווה לגבול הבא:


f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

הערה חשובה: התייחסו אל \Delta x כאל משתנה יחיד, ולא כפונקציה את x.


דוגמא.

נגזור את הפונקציה f(x)=\sqrt{x} בנקודה כללית x>0.

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x (\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} =\frac{1}{2\sqrt{x}}


אריתמטיקה של נגזרות

(cf)'=c\cdot f'


(f+g)'=f'+g'

שימו לב: משני תנאים אלה ניתן לראות כי 'נגזרת' היא אופרטור לינארי על מרחב הפונקציות (שהוא אכן מרחב וקטורי).


(f\cdot g)'=f'g+g'f


\Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}


\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'


\Big(f^g\Big)'=f^g\Big[g'ln(f)+\frac{gf'}{f}\Big]

שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}

רציפות הנגזרת

פרמה, רול ולגראנז'

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/פונקציות/גזירות&oldid=18487