==הגדרת הנגזרת==
נגזרת, באופן אינטואיטיבי, מודדת את השיפוע של הפונקציה בנקודה. בדומה למושגים קודמים כמו גבול וסכום טור, אנו נותנים הגדרה מדויקת ל'שיפוע' התואמת את ההגיון ובודקים אילו מן הפונקציות מקיימות הגדרה זו.
נגזרת, באופן אינטואיטיבי, מודדת את השיפוע שיפוע של הפונקציה בנקודהקו ישר מוגדר על-ידי המרחק בציר <math>y</math> חלקי המרחק בציר <math>x</math> . בדומה למושגים קודמים כמו גבול וסכום טורנביט בקו <math>y(x)=mx+b</math> , אנו נותנים הגדרה מדוייקת ל'שיפוע' התואמת את ההגיון ובודקים אילו מן הפונקציות מקיימות הגדרה זו.אזי השיפוע שלו הוא::<math>\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{mx_1+b-(mx_2+b)}{x_1-x_2}=m</math>
אם כך, נגדיר שיפוע של קו ישר מוגדר על ידי המרחק בציר y חלקי המרחק בציר xפונקציה כללית, לפי '''גבול''' שיפועים של קוים ישרים. נביט בקו לכל נקודה בסביבת <math>y(x)=mx+bx_0</math>נמדוד את השיפוע של הקו הישר בין שתי תמונות הפונקציה מעל הנקודה שבחרנו ומעל <math>x_0</math> . הנגזרת, אזי או השיפוע שלו הוא:, ב- <math>x_0</math> מוגדרת להיות גבול השיפועים לעיל כאשר הנקודות מתקרבות ל- <math>x_0</math> .
::<math>\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{mx_1+b-(mx_2+b)}{x_1-x_2}=m</math> אם כך, נגדיר שיפוע של פונקציה כללית, לפי '''גבול''' שיפועים של קוים ישרים. לכל נקודה בסביבת <math>x_0</math> נמדוד את השיפוע של הקו הישר בין שתי תמונות הפונקציה מעל הנקודה שבחרנו ומעל <math>x_0</math>. הנגזרת, או השיפוע, ב<math>x_0</math> מוגדר להיות גבול השיפועים לעיל כאשר הנקודות מתקרבות ל<math>x_0</math>. <font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font> תהי f פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה <math>x_0</math>. אזי הפונקציה '''גזירה''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבול הבא קיים וסופי: ::<math>f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה <math>x_0</math> . אזי הפונקציה '''גזירה''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבול הבא קיים וסופי:
:<math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
שימו לב, קל להוכיח שהגדרת הנגזרת שקולה ושווה לגבול הבא:
:<math>f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>
'''הערה חשובה:''' התייחסו אל <math>\Delta x</math> כאל משתנה יחיד, ולא כפונקציה את <math>x</math> .
::<mathfont size=4 color=#a7adcd>f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}''דוגמא.'''</mathfont>
'''הערה חשובה:''' התייחסו אל נגזור את הפונקציה <math>f(x)=\Delta sqrt{x}</math> כאל משתנה יחיד, ולא כפונקציה את בנקודה כללית <math>x>0</math> .
:<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
<font size=4 color=#a7adcdאריתמטיקה של נגזרות ושאר נוסחאות==:<math>(c\cdot f)'=c\cdot f''דוגמא.''' </fontmath>
נגזור את הפונקציה :<math>f(xf+g)'=\sqrt{x}f'+g'</math> בנקודה כללית שימו לב: משני תנאים אלה ניתן לראות כי 'נגזרת' היא אופרטור לינארי על מרחב הפונקציות (שהוא אכן מרחב וקטורי).:<math>x>0(f\cdot g)'=f'g+g'f</math>.
::<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1f}{(\sqrt{x+\Delta xg}+\sqrt{x}right)}'=\frac{1f'g-g'f}{g^2\sqrt{x}}</math>
:<math>\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'</math>
:<math>(f^g)'=f^g\Big[g'\ln(f)+\frac{gf'}{f}\Big]</math>
שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g=e^{\ln(f^g)}=אריתמטיקה של נגזרות=e^{g\ln(f)}</math>:<math>\Big(f^{-1}\Big)'(x)=\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)}</math>
::<math>(cf)'=c\cdot f'</math>=נגזרות של פונקציות נפוצות==*[[מדיה:09Infi2Derivatives.jpg|דף נוסחאות של נגזרות]]
==רציפות הנגזרת==
שאלה, האם קיימת פונקציה הגזירה בקטע '''פתוח''' שנגזרתה אינה רציפה בקטע זה?
נחקור לצורך מענה על השאלה את הפונקציה הבאה::<math>(f+g(x)'=f'+g'x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)</math>כיון שזו הרכבה וחלוקה של פונקציות גזירות, זו פונקציה רציפה וגזירה לכל <math>x\ne 0</math>. בנקודה אפס הפונקציה אינה מוגדרת ולכן אינה רציפה ואינה גזירה.
שימו לב: משני תנאים אלה ניתן לראות אולם, נוכיח כי 'נגזרת' היא אופרטור לינארי אי-הרציפות ב- <math>0</math> הנה סליקה, ונתקן את הפונקציה לקבל פונקציה רציפה על מרחב הפונקציות כל הממשיים::<math>g(שהוא אכן מרחב וקטוריx)=\begin{cases}f(x) & x\ne 0\\0 & x=0\end{cases}</math>(קל לבדוק כי <math>\lim_{x\to 0}g(x)=0</math> ולכן הפונקציה רציפה על כל הממשיים).
האם <math>g</math> גזירה ב- <math>0</math> ? יש לבדוק ישירות מתוך ההגדרה (כיון שהיא לא מוגדרת על-ידי פונקציות אלמנטריות בנקודה זו).
:<math>g'(0):=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)}{x}=0</math>
על כן <math>g</math> גזירה ב- <math>0</math> , וביחד היא גזירה על כל הממשיים.
:<math>g'(x)=2x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)-x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)\cdot\left(-\tfrac{2}{x^3}\right)</math>
::וקל לראות שפונקציה זו אינה חסומה באף סביבה של <math>(f\cdot g)'=f'g+g'f0</math>ולכן אינה רציפה שם.
==מונוטוניות==
'''משפט.''' אם הנגזרת של <math>f</math> אי שלילית בקטע מסוים, אזי <math>f</math> מונוטונית לא יורדת בו. באופן דומה, אם הנגזרת אי חיובית, אזי הפונקציה מונוטונית לא עולה.
::<math>\Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f=פרמה, רול ולגראנז'g-g'f}{g^2}</math>==[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
[[משפט רול]]
::<math>\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'</math> ::<math>\Big(f^g\Big)'=f^g\Big[g[משפט לגראנז'ln(fאינפי)+\frac{gf|משפט לגראנז'}{f}\Big]</math> שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math> ==רציפות הנגזרת== ==פרמה, רול ולגראנז'==]