==רציפות הנגזרת==
שאלה, האם קיימת פונקציה הגזירה בקטע '''פתוח''' שנגזרתה אינה רציפה בקטע זה?
נחקור לצורך מענה על השאלה את הפונקציה הבאה:
::<math>f(x)=x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)</math>
כיוון שזו הרכבה וחלוקה של פונקציות גזירות, זו פונקציה רציפה וגזירה לכל <math>x\neq 0</math>. בנקודה אפס הפונקציה אינה מוגדרת ולכן אינה רציפה ואינה גזירה.
אולם, נוכיח כי אי הרציפות בנקודה אפס הינה סליקה, ונתקן את הפונקציה לקבל פונקציה רציפה על כל הממשיים:
::<math>g(x)=f(x)</math> כאשר <math>x\neq 0</math> ו <math>g(0)=0</math>
(קל לבדוק כי <math>\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0</math> ולכן הפונקציה רציפה על כל הממשיים).
האם g גזירה באפס? יש לבדוק ישירות מתוך ההגדרה (כיוון שהיא לא מוגדרת על ידי פונקציות אלמנטריות בנקודה זו).
::<math>g'(0):=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big))}{x}=0
</math>
על כן g גזירה באפס, וביחד היא גזירה על כל הממשיים.
::<math>g'(x)=2xsin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)-x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)\cdot\Big(-\frac{2}{x^3}\Big)</math>
וקל לראות שפונקציה זו אינה חסומה באף סביבה של אפס ולכן אינה רציפה שם.
==פרמה, רול ולגראנז'==