שינויים

יהיו <math>f(x),g(x)</math>פונקציות רצפיפות בקטע <math>[a,b]</math>וגזירות בקטע הפתוח <math>\left(a,b\right)</math>אם <math>g(x)\not=ne 0</math>שמה אזי קיים <math>a<c<\in(a,b)</math>כך ש - <math>\frac{f'(b)-f(ac)}{g'(b)-g(ac)}=\frac{f'(cb)-f(a)}{g'(cb)-g(a)}</math>.

'''תרגיל: ''' הוכח כי לכל <math>x,y\in[0,\frac{\pi}{3}]</math>מתקיים <math>\Big|\tan(x)-\tan(y)\Big|\leq8le 8\cdotBig|\sin(x)-\sin(y)\Big|</math>

'''פתרון: ''' נגדיר <math>f(x)=\tan(x).\ ,\ g(x)=\sin(x)</math>לפי משפט ע"ב המוכלל <math>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>כאשר <math>x<c<y</math>.

לפי משפט ע"ב המוכלל <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math> כאשר <math>x<c<y</math> מתקיים <math>\left|\frac{f'(c)}{g'(c)}\right|=\left|\frac{\frac{1}{\cos^{2}(c)}}{\cos(c)}\right|=\left|\frac{1}{\cos^{3}(c)}\right|\leqle\left|\frac{1}{\cos^{3}\left(\frac{\pi}{3}\right)}\right|=8</math>