88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/משפט קושי

משפט ערך הביניים המוכלל

יהיו $f(x),g(x)$ פונקציות רצפיפות בקטע $[a,b]$ וגזירות בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$ אם $g(x)\not=0$ שמה אזי קיים $a<c<b$ כך ש $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

תרגיל: הוכח כי לכל $x,y\in[0,\frac{\pi}{3}]$ מתקיים $|tan(x)-tan(y)|\leq8\cdot|sin(x)-sin(y)|$

פתרון: נגדיר $f(x)=tan(x).g(x)=sin(x)$ לפי משפט ע"ב המוכלל $\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ כאשר $x<c<y$

 . 

מתקיים $|\frac{f'(c)}{g'(c)}|=|\frac{\frac{1}{cos^{2}(c)}}{cos(c)}|=|\frac{1}{cos^{3}(c)}|\leq|\frac{1}{cos^{3}(\frac{\pi}{3})}|=8$