שינויים

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסוייםמסוים.

פונקציה <math>f </math> נקראת '''רציפה במידה שווה''' (רציפה במ"ש) בקטע A אם:*לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל זוג נקודות <math>x_1,x_2\in A</math> המקיימות <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math>.

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה עשויה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

נבחן את הפונקציה <math>f(x)=x</math>, ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.

אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon</math>

ראשיתכעת, נביט ב אם ניקח <math>f(x)\delta=x^\frac{\epsilon}{2</math> על הקטע הסופי <math>\max(|a|,|b|)}</math>נקבל את הדרוש. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי:

עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה ניקח <math>f(x)x_2=x^x_1+\frac{\delta}{2}</math> על כל הממשיים, ונוכיח ונראה כי היא אינה רציפה שם במ"שאם נבחר את <math>x_1</math> להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש.ברור כי <math>|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta</math>

ניקח :<math>\epsilonBig|f(x_1)-f(x_2)\Big|=1</math>. צריך להוכיח כי לכל <math>\delta>0</math> קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים <math>Big|x_1^2-x_2^2\Big|<=\delta</math> וגם <math>Big|f(x_1)-fx_2)(x_1+x_2)\Big|=\geq 1frac{\delta}{2}\left|2x_1+\frac{\delta}{2}\right|</math>.

ניקח <math>x_2=x_1+\frac{\delta}{2}</math> ונראה כי אם נבחר את <math>x_1</math> להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי <math>|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta</math>מבחנים לבדיקה האם פונקציה רציפה במ"ש==

::<math>|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1=משפט -x_2)(x_1+x_2)|סכום רציפות במ"ש=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|</math>==סכום וכפל בקבוע של רציפות במ"ש - רציף במ"ש.

ברור שאם נגדיל את שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא <math>x_1x^2=x\cdot x</math> מספיק נקבל את הדרוש, כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.

==מבחנים לבדיקה האם פונקציה '''הוכחה.'''אם הפונקציה אינה רציפה במ"ש==אזי קיים <math>\epsilon>0</math> כך שלכל <math>\delta>0</math> יש זוג מספרים בקטע במרחק קטן מדלתא, כך שהפרש התמונות ביניהם גדול או שווה לאפסילון.

ניקח סדרת דלתאות כלשהי השואפת לאפס. הסדרות המורכבות מהזוגות המותאמים לדלתאות מקיימות את הדרוש. בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת-סדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (הגבול העליון). תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים. ===משפט- תנאי הכרחי (אבל לא מספיק) לרציפות במ"ש - חסימות על קטע סופי===פונקציה הרציפה רציפה במ"ש על קטע רציפה סופי חסומה שם. דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> חסומה אך אינה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math>

פונקציה רציפה על קטע סגור וסופי רציפה שם במ"ש

===משפט===תהי f רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)<[משפטים/math>, כך שהגבול::<math>\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L<אינפי/math>קנטור|הוכחה]]

קיים וסופי, אזי ===משפט - הרכבת פונקציות רציפות במ"ש===נניח <math>f </math> רציפה במ"ש על הקטע קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש <math>[a,\infty)g</math>.אזי ההרכבה <math>f(g(x))</math> רציפה במ"ש

יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון<math>\epsilon>0</math> .

לפי הנתון<math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>(a, b]</math> ולכן קיים M <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>x,y\in(a,b]</math>Mהמקיימים <math>|x-y|<\delta_1</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-Lf(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.

לכן לכל <math>x_1f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[b,x_2c)</math> ולכן קיים <math>\delta_2>M0</math> כך שלכל <math>x,y\in[b,c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_2</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1x)-f(x_2y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> (בעזרת אי שיוויון המשולש).

כעת, לפי משפט קנטור f רציפה במ"ש בקטע יהי <math>[a\delta=\min\{\delta_1,M+1]\delta_2\}</math>, ולכן קיים דלתא כך . אזי <math>\delta>0</math>. נראה שלכל זוג נקודות <math>ax,y\leq x_1in(a,x_2c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\leq M+1delta</math> הקרובות עד כדי דלתא, מתקיים <math>\Big|f(x_1x)-f(x_2y)\Big|<\epsilon</math>.

אם ניקח מרחק שקטן או שווה למינימום שבין דלתא לבין אחדא) <math>x, יתקיים שאם y\in(a,b]</math> . אזי <math>|x_1x-x_2y|<\delta\le\delta_1</math> אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע ומכאן <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math> . ב) <math>x,y\in[Mb,c)</math> ומכיון ש- <math>|x-y|<\inftydelta\le\delta_2</math> נסיק ש- <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math> או בקטע . ג) אחת מהנקודות ב- <math>(a,b]</math> והשניה ב- <math>[b,c)</math> . נניח בה"כ ש- <math>x\in(a,M+1b]</math> ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת ו- <math>y\in[b,c)</math> . מכאן <math>|x-b|\le|x-y|<\delta\le\delta_1</math> וכן <math>|y-b|\le|x-y|<\delta\le\delta_2</math> . מכאן <math>\Big|f הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו(x)-f(b)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> וכמו כן <math>\Big|f(b)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> .כעת ניעזר באי-שוויון המשולש כדי לקבל <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|\le\Big|f(x)-f(b)\Big|+\Big|f(b)-f(y)\Big|<\epsilon</math>

תהי <math>f פונקציה </math> רציפה על קטע לאו דווקא סופיחצי אינסופי מהצורה <math>[a, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים\infty)</math> , הפונקציה רציפה במ"ש בקטע (ההפך אינו נכון בהכרח, שכן ראינו את הפונקציה כך שהגבול:<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=xL</math> שאין לה גבול באינסוףקיים וסופי, אך היא אזי <math>f</math> רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.הקטע <math>[a,\infty)</math> .

נחלק את ההוכחה לשניםיהי <math>\epsilon>0</math> , יש למצוא <math>\delta>0</math> כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון. לפי הנתון, קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x)- כאשר קצה הקטע L\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math> .  לכן לכל <math>x_1,x_2>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math> (בעזרת אי-שוויון המשולש). כעת, לפי משפט קנטור <math>f</math> רציפה במ"ש בקטע <math>[a,M+1]</math> , ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות <math>a\le x_1,x_2\le M+1</math> הקרובות עד-כדי דלתא, מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math> .  אם ניקח מרחק שקטן או שווה ל- <math>\min\{\delta,1\}</math> , יתקיים שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע <math>[M,\infty)</math> או בקטע <math>[a,M+1]</math> ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת <math>f</math> הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו. ===מסקנה - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - גבולות סופיים בקצות הקטע===תהי <math>f</math> פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, וכאשר הוא אינסופיאזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע. דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=x</math> על כל ציר הממשיים. ההוכחות לימין ולשמאל דומות '''שימו לב:''' יש לוודא ראשית כי הפונקציה רציפה בכל נקודה בקטע, לפני שבודקים את הגבולות בקצוות. ===משפט - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - נגזרת חסומה===פונקציה גזירה שנגזרתה חסומה בקטע, רציפה שם במ"ש. דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=\sqrt{x}</math> בקטע הפתוח <math>(0,1)</math>  ===משפט - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - מחזורית ורציפה===פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים. שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים::<math>f(x+p)=f(x)</math> '''דוגמא.''' <math>f(x)=e^{-\sin(x)}</math> רציפה במ"ש על כל הממשיים. באופן דומה, כל הרכבת פונקציות רציפות, כאשר הפונקציה הכי פנימית מחזורית, רציפה במ"ש. =='''אלגוריתם לבדיקת רציפות במ"ש'''==[[מדיה:Uniformcontinu2013infidvir.pdf|אלגוריתם לבדיקת רציפות במ"ש]] ==תרגילים==בדוק רציפות במ"ש של הפונקציות הבאות בקטעים הנתונים: ===1===*<math>f(x)=x\sin(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math> '''פתרון.''' הפונקציה אינה רציפה במ"ש, נבנה שתי סדרות::<math>x_n=\frac{1}{n}+2\pi n</math>:<math>y_n=2\pi n</math>מתקיים :<math>x_n-y_n=\frac{1}{n}\to0</math>אבל:<math>f(x_n)-f(y_n)=\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\Big(\tfrac{1}{n}+2\pi n\Big)\to2\pi</math>שכן :<math>n\sin\left(\tfrac{1}{n}\right)=\frac{\sin\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\to1</math>ולכן ההפרש בין תמונות הנקודות גדול מאשר אחד (למשל) החל משלב מסוים, לכן נוכיח בהפונקציה אינה רציפה במ"ש.ה ===2===*<math>f(x)=\ln(x)</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>  נגזור את הפונקציה, לקבל <math>f'(x)=\frac{1}{x}</math> החסומה על-ידי 1 בקטע, ולכן הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.כ לקצה  ===3===*<math>f(x)=\ln(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>  הפונקציה אינה חסומה על הקטע הימניהסופי <math>(0,1)</math> ולכן לא רציפה במ"ש שם, ובוודאי אינה רציפה במ"ש בכל קטע המכיל אותו. ===4===*<math>f(x)=x\ln(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math> נוכיח את שלילת רציפות במ"ש: נבחר אפסילון קבוע. יהי <math>\delta>0</math> אזי ניקח <math>x_0>1,x_1:=x_0+\frac{\delta}{2}</math> ונביט בהגדרה: <math>\Big|f(x_1)-f(x_0)\Big|=\Bigg|\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)\ln\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)-x_0\ln(x_0)\Bigg|=\left|\frac{\delta}{2}\ln\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)+x_0\ln\left(\frac{x_0+\tfrac{\delta}{2}}{x_0}\right)\right|</math> מתקיים: <math>\frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0}>1\to\ln(\frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0})>0</math> ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים <math>\frac{\delta}{2}\ln\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)\ge\epsilon</math> ניקח <math>x_0>e^{\frac{2\epsilon}{\delta}}-\frac{\delta}{2}</math> וסיימנו. ===5===*<math>\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math> נמצא שתי סדרות שהמרחק ביניהן שואף לאפס, אבל המרחק בין הפונקציה עליהן אינו שואף לאפס.:<math>x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math>:<math>y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}</math>רואים כי מתקיים:<math>|x_n-y_n|\to0</math> וגם <math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|=2\not\to0</math> ולכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש בקטע ===6===*<math>x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math> לפונקציה גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, היא רציפה בכל נקודה בקטע ולכן רציפה שם במ"ש