שינויים

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסוייםמסוים.

פונקציה <math>f </math> נקראת '''רציפה במידה שווה''' (רציפה במ"ש) בקטע A אם:*לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל זוג נקודות <math>x_1,x_2\in A</math> המקיימות <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math>.

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה עשויה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

נבחן את הפונקציה <math>f(x)=x</math>, ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.

אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon</math>

ראשית, נביט ב <math>f(x)=x^2</math> על הקטע הסופי <math>(a,b)</math>. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי: ::<math>|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2max(|a|,|b|)</math> כעת, אם ניקח <math>\delta = \frac{\epsilon}{2max2\max(|a|,|b|)}</math> נקבל את הדרוש.

ניקח <math>\epsilon=1</math>. צריך להוכיח כי לכל <math>\delta>0</math> קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים <math>|x_1-x_2|<\delta</math> וגם <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|\geq 1ge1</math>. 

 ::<math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=\Big|x_1^2-x_2^2\Big|=\Big|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\Big|=\frac{\delta}{2}\left|2x_1+\frac{\delta}{2}\right|</math>

שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא <math>x^2=x\cdot x</math> , כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.

פונקציה f '''אינה''' רציפה במ"ש בקטע A אם"ם קיים מספר a שונה מאפס, וקיימות זוג סדרות (עם איברים אברים מ-A) המקיימות: ::<math>|x_n-y_n|\rightarrow 0rightarrow0</math> 

::'''הוכחה.'''אם הפונקציה אינה רציפה במ"ש אזי קיים <math>\forall n:|f(x_n)-f(y_n)|epsilon>0</math> כך שלכל <math>\geq adelta>0</math>יש זוג מספרים בקטע במרחק קטן מדלתא, כך שהפרש התמונות ביניהם גדול או שווה לאפסילון.

שימו לב: מספיק גם להוכיח כי::<math>\lim |f(x_n)בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת-fסדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (y_nהגבול העליון)|\neq 0</math>. תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים.

דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=\sin\Bigleft(\fractfrac{1}{x}\Bigright)</math> חסומה אך אינה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math>

נניח <math>f </math> רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש <math>g</math> . אזי ההרכבה <math>f(g(x))</math> רציפה במ"ש

===משפט - חלוקה לתתי -קטעים===

יהי <math>\epsilon>0</math>.

<math>f</math> רציפה במ"ש ב - <math>(a,b]</math> ולכן קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>x,y\in(a,b]</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_1</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.

<math>f</math> רציפה במ"ש ב - <math>[b,c])</math> ולכן קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>x,y\in[b,c])</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_2</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.

יהי <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math>. אזי <math>\delta>0</math>. נראה שלכל <math>x,y\in(a,c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math>.נניח <math>x,y\in(a,c)</math> כך ש <math>|x-y|<\delta</math>. יתכנו שלושה מצבים:

א) נניח <math>x,y\in(a,b]c)</math>. אזי כך ש- <math>|x-y|<\delta\leq \delta_1</math> ומכאן <math>|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math>.יתכנו שלושה מצבים:

בא) <math>x,y\in [b(a,c)b]</math> ומכיון ש . אזי <math>|x-y|<\delta\leq le\delta_2delta_1</math> נסיק ש ומכאן <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math>.

ב) <math>x,y\in[b,c)</math> ומכיון ש- <math>|x-y|<\delta\le\delta_2</math> נסיק ש- <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math> . ג) אחת מהנקודות ב - <math>(a,b]</math> והשניה ב - <math>[b,c)</math>. נניח בה"כ ש - <math>x\in(a,b]</math> ו - <math>y\in[b,c)</math>. מכאן <math>|x-b|\leqle|x-y|<\delta\leq le\delta_1</math> וכן <math>|y-b|\leqle|x-y|<\delta\leq le\delta_2</math>. מכאן <math>\Big|f(x)-f(b)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math > וכמו כן <math>\Big|f(b)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>. כעת ניעזר באי -שוויון המשולש כדי לקבל <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|\leq le\Big|f(x)-f(b)\Big|+\Big|f(b)-f(y)\Big|<\epsilon </math>

תהי <math>f </math> רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)</math>, כך שהגבול::<math>\lim_{x\rightarrowto\infty}f(x)=L</math> קיים וסופי, אזי <math>f </math> רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math>. 

יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math> , צריך יש למצוא דלתא גדול מאפס <math>\delta>0</math> כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון.

לפי הנתון, קיים <math>M </math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.

לכן לכל <math>x_1,x_2>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math> (בעזרת אי שיוויון -שוויון המשולש).

כעת, לפי משפט קנטור <math>f </math> רציפה במ"ש בקטע <math>[a,M+1]</math>, ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות <math>a\leq le x_1,x_2\leq le M+1</math> הקרובות עד -כדי דלתא, מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math>.

אם ניקח מרחק שקטן או שווה למינימום שבין דלתא לבין אחדל- <math>\min\{\delta,1\}</math> , יתקיים שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע <math>[M,\infty)</math> או בקטע <math>[a,M+1]</math> ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת <math>f </math> הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו.

תהי <math>f </math> פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע .

 ::<math>f(x+p)=f(x)</math> 

<math>f(x)=e^{-\sin(x)}</math> רציפה במ"ש על כל הממשיים.

===1===*<math>f(x)=xsinxx\sin(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

 ::<math>x_n=\frac{1}{n}+2\pi n</math> ::<math>y_n=2\pi n</math>  

 ::<math>x_n-y_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0to0</math> 

 ::<math>f(x_n)-f(y_n)=\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\Big(\fractfrac{1}{n}+2\pi n\Big)\rightarrow 2to2\pi</math> 

::===2===*<math>nsin\Bigf(\frac{1}{n}\Bigx)=\frac{sin\Bigln(\frac{1}{n}\Bigx)}{\frac{</math> בקטע <math>(1}{n}},\rightarrow 1infty)</math>

ולכן ההפרש בין תמונות הנקודות גדול מאשר אחד ===3===*<math>f(למשלx) החל משלב מסוים=\ln(x)</math> בקטע <math>(0, לכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש.\infty)</math>

*נבחר אפסילון קבוע. יהי <math>f(x)=ln(x)</math\delta> בקטע <math>(1,\infty)0</math>

נגזור את הפונקציה, לקבל אזי ניקח <math>f'(x)x_0>1,x_1:=x_0+\frac{1\delta}{x2}</math> החסומה על ידי 1 בקטע, ולכן הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.ונביט בהגדרה:

*מתקיים: <math>f(x)=\frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0}>1\to\ln(x\frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0})</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

הפונקציה אינה חסומה על הקטע הסופי ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים <math>\frac{\delta}{2}\ln\left(0,1x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)\ge\epsilon</math> ולכן לא רציפה במ"ש שם, ובוודאי אינה רציפה במ"ש בכל קטע המכיל אותו.

===5===*<math>f\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=xlnx</math> בקטע <math>(0,\infty1)</math>

נוכיח את שלילת רציפות במ"שנמצא שתי סדרות שהמרחק ביניהן שואף לאפס, אבל המרחק בין הפונקציה עליהן אינו שואף לאפס.:<math>x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math>:<math>y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}</math>רואים כי מתקיים:<math>|x_n-y_n|\to0</math>

נבחר אפסילון קבוע. יהי <math>\delta >0</math> אזי ניקח <math>x_{0}>1, x_{1}:=x_{0}+\frac{\delta }{2}</math> ונביט בהגדרה:וגם

<math>\Big|f(x_{1}x_n)-f(x_{0}y_n)|=|(x_{0}+\frac{\delta }{2})ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})-x_{0}lnx_{0}Big|=|\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{not\delta }{2})+x_{0}ln\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}|to0</math>

ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים ===6===*<math>x\frac{sin\delta }{2}lnleft(x_{0}+\fractfrac{\delta 1}{2x})\geq \varepsilon right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>