שינויים

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסוייםמסוים.

פונקציה <math>f </math> נקראת '''רציפה במידה שווה''' (רציפה במ"ש) בקטע A אם:*לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל זוג נקודות <math>x_1,x_2\in A</math> המקיימות <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math>.

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה עשויה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

נבחן את הפונקציה <math>f(x)=x</math>, ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.

אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon</math>

ראשית, נביט ב <math>f(x)=x^2</math> על הקטע הסופי <math>(a,b)</math>. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי: ::<math>|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2max(|a|,|b|)</math> כעת, אם ניקח <math>\delta = \frac{\epsilon}{2max2\max(|a|,|b|)}</math> נקבל את הדרוש.

ניקח <math>\epsilon=1</math>. צריך להוכיח כי לכל <math>\delta>0</math> קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים <math>|x_1-x_2|<\delta</math> וגם <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|\geq 1ge1</math>. 

 ::<math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=\Big|x_1^2-x_2^2\Big|=\Big|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\Big|=\frac{\delta}{2}\left|2x_1+\frac{\delta}{2}\right|</math>

שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא <math>x^2=x\cdot x</math>, כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.

פונקציה f '''אינה''' רציפה במ"ש בקטע A אם"ם קיים זוג סדרות (עם איברים אברים מ-A) המקיימות: ::<math>|x_n-y_n|\rightarrow 0rightarrow0</math> 

 ::<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\rightarrow 0rightarrow0</math> 

אם הפונקציה אינה רציפה במ"ש אזי קיים אפסילון גדול מאפס <math>\epsilon>0</math> כך שלכל דלתא גדול מאפס <math>\delta>0</math> יש זוג מספרים בקטע במרחק קטן מדלתא, כך שהפרש התמונות בינהם ביניהם גדול או שווה לאפסילון.

 בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיוון כיון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת -סדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (הגבול העליון). תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים.

דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - <math>f(x)=\sin\Bigleft(\fractfrac{1}{x}\Bigright)</math> חסומה אך אינה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math>

נניח <math>f </math> רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש <math>g</math> . אזי ההרכבה <math>f(g(x))</math> רציפה במ"ש

===משפט - חלוקה לתתי -קטעים===

יהי <math>\epsilon>0</math>.

<math>f</math> רציפה במ"ש ב - <math>(a,b]</math> ולכן קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>x,y\in(a,b]</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_1</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.

<math>f</math> רציפה במ"ש ב - <math>[b,c)</math> ולכן קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>x,y\in[b,c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_2</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.

יהי <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math>. אזי <math>\delta>0</math>. נראה שלכל <math>x,y\in(a,c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math>.נניח <math>x,y\in(a,c)</math> כך ש <math>|x-y|<\delta</math>. יתכנו שלושה מצבים:

א) נניח <math>x,y\in(a,b]c)</math>. אזי כך ש- <math>|x-y|<\delta\leq \delta_1</math> ומכאן <math>|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math>.יתכנו שלושה מצבים:

בא) <math>x,y\in [b(a,c)b]</math> ומכיון ש . אזי <math>|x-y|<\delta\leq le\delta_2delta_1</math> נסיק ש ומכאן <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math>.

ב) <math>x,y\in[b,c)</math> ומכיון ש- <math>|x-y|<\delta\le\delta_2</math> נסיק ש- <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math> . ג) אחת מהנקודות ב - <math>(a,b]</math> והשניה ב - <math>[b,c)</math>. נניח בה"כ ש - <math>x\in(a,b]</math> ו - <math>y\in[b,c)</math>. מכאן <math>|x-b|\leqle|x-y|<\delta\leq le\delta_1</math> וכן <math>|y-b|\leqle|x-y|<\delta\leq le\delta_2</math>. מכאן <math>\Big|f(x)-f(b)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math > וכמו כן <math>\Big|f(b)-f(y)\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>. כעת ניעזר באי -שוויון המשולש כדי לקבל <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|\leq le\Big|f(x)-f(b)\Big|+\Big|f(b)-f(y)\Big|<\epsilon </math>

תהי <math>f </math> רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)</math>, כך שהגבול::<math>\lim_{x\rightarrowto\infty}f(x)=L</math> קיים וסופי, אזי <math>f </math> רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math>. 

יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math> , צריך יש למצוא דלתא גדול מאפס <math>\delta>0</math> כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון.

לפי הנתון, קיים <math>M </math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\frac{\epsilon}{2}</math>.

לכן לכל <math>x_1,x_2>M</math> מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math> (בעזרת אי שיוויון -שוויון המשולש).

כעת, לפי משפט קנטור <math>f </math> רציפה במ"ש בקטע <math>[a,M+1]</math>, ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות <math>a\leq le x_1,x_2\leq le M+1</math> הקרובות עד -כדי דלתא, מתקיים <math>\Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|<\epsilon</math>.

אם ניקח מרחק שקטן או שווה למינימום שבין דלתא לבין אחדל- <math>\min\{\delta,1\}</math> , יתקיים שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע <math>[M,\infty)</math> או בקטע <math>[a,M+1]</math> ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת <math>f </math> הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו.

תהי <math>f </math> פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע .

 ::<math>f(x+p)=f(x)</math> 

<math>f(x)=e^{-\sin(x)}</math> רציפה במ"ש על כל הממשיים.

 == '''אלגוריתם לבדיקת רציפות במ"ש''' == 

*<math>f(x)=xsinxx\sin(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

 ::<math>x_n=\frac{1}{n}+2\pi n</math> ::<math>y_n=2\pi n</math>  

 ::<math>x_n-y_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0to0</math> 

 ::<math>f(x_n)-f(y_n)=\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\Big(\fractfrac{1}{n}+2\pi n\Big)\rightarrow 2to2\pi</math> 

 ::<math>nsinn\sin\Bigleft(\fractfrac{1}{n}\Bigright)=\frac{\sin\Bigleft(\fractfrac{1}{n}\Bigright)}{\frac{1}{n}}\rightarrow 1to1</math>  

*<math>f(x)=\ln(x)</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>

נגזור את הפונקציה, לקבל <math>f'(x)=\frac{1}{x}</math> החסומה על -ידי 1 בקטע, ולכן הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.

*<math>f(x)=\ln(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

*<math>f(x)=xlnxx\ln(x)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

נבחר אפסילון קבוע. יהי <math>\delta >0</math>

אזי ניקח <math>x_{0}x_0>1, x_{1}x_1:=x_{0}x_0+\frac{\delta }{2}</math> ונביט בהגדרה:

<math>\Big|f(x_{1}x_1)-f(x_{0}x_0)\Big|=\Bigg|\left(x_{0}x_0+\fractfrac{\delta }{2}\right)\ln\left(x_{0}x_0+\fractfrac{\delta }{2}\right)-x_{0}lnx_{0}x_0\ln(x_0)\Bigg|=\left|\frac{\delta }{2}\ln\left(x_{0}x_0+\fractfrac{\delta }{2}\right)+x_{0}x_0\ln\left(\frac{x_{0}x_0+\fractfrac{\delta }{2}}{x_{0}x_0}\right)\right|</math>

מתקיים: <math>\frac{x_{0}x_0+\frac{\delta }{2}}{x_{0}x_0}>1\Rightarrow to\ln(\frac{x_{0}x_0+\frac{\delta }{2}}{x_{0}x_0})>0</math>

ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים <math>\frac{\delta }{2}\ln\left(x_{0}x_0+\fractfrac{\delta }{2}\right)\geq ge\varepsilon epsilon</math>

ניקח <math>x_{0}x_0>e^{\frac{2\varepsilon epsilon}{\delta }}-\frac{\delta }{2}</math> וסיימנו.

*<math>\sin\Bigleft(\fractfrac{1}{x}\Bigright)</math> בקטע <math>(0,1)</math> נמצא שתי סדרות שהמרחק בינהן שואף לאפס, אבל המרחק בין הפונקציה עליהן אינו שואף לאפס. 

 <math>|x_n-y_n|\rightarrow 0to0</math>

<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|=2\not\rightarrow 0to0</math>

*<math>xsinx\sin\Bigleft(\fractfrac{1}{x}\Bigright)</math> בקטע <math>(0,1)</math>