הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1 == א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה ב. הוכח/הפרך: אם <math>\lim\sqrt[n]{a_n}=L</math> אזי <math>\lim\frac{a_{n+1...")
 
(←‏שאלה 2)
שורה 19: שורה 19:
  
 
==שאלה 2==
 
==שאלה 2==
 +
נניח כי f פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math>, גזירה ב- <math>(0,\infty)</math>. בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math>מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>.
 +
 +
א. הוכיחו כי <math>f'(x)\geq \frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math>.
 +
 +
ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>.
 +
 +
===פתרון===
 +
א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע <math>[0,x]</math>. לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש:
 +
 +
::<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math>
 +
 +
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
 +
 +
::<math>f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x}</math>
 +
 +
כפי שרצינו.
 +
 +
 +
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
 +
 +
::<math>g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}</math>
 +
 +
כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
 +
 +
 +
::<math>xf'(x)-f(x)\geq x\frac{f(x)}{x}-f(x)=0</math>
 +
 +
 +
==שאלה 3==

גרסה מ־17:51, 8 בפברואר 2012

שאלה 1

א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה

ב. הוכח/הפרך: אם \lim\sqrt[n]{a_n}=L אזי \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L

פתרון

א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה n_1כך שלכל n>n_1 מתקיים |a_n-L|<1 ולכן L-1<a_n<L+1. סה"כ:

\forall n:\min\{a_1,...,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\}


ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה n, ובמקומות האי-זוגיים n^2:

a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,...

קל לראות כי \lim\sqrt[n]{a_n}=1, אבל לא קיים הגבול \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}

שאלה 2

נניח כי f פונקציה רציפה ב- [0,\infty), גזירה ב- (0,\infty). בנוסף נתון כי f(0)=0 והנגזרת f'מונוטונית עולה ב- (0,\infty).

א. הוכיחו כי f'(x)\geq \frac{f(x)}{x} ב- (0,\infty).

ב. הוכיחו כי הפונקציה g(x)=\frac{f(x)}{x} מונוטונית עולה ב- (0,\infty).

פתרון

א. יהי x>0. נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע [0,x]. לכן קיימת נקודה 0<c<x כך ש:

f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}

אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:

f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x}

כפי שרצינו.


ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה

g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}

כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':


xf'(x)-f(x)\geq x\frac{f(x)}{x}-f(x)=0


שאלה 3

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/פתרון_מועד_א_מדמח&oldid=19604