הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה 2)
(←‏שאלה 3)
שורה 48: שורה 48:
  
 
==שאלה 3==
 
==שאלה 3==
 +
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:
 +
 +
 +
א. <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n}</math>
 +
 +
 +
ב. <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n</math>, כאשר <math>a_1=1</math>, ו- <math>a_{n+1}=sin(a_n)</math>
 +
 +
 +
ג. <math>\lim_{x\rightarrow\infty}(sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x})</math>
 +
 +
 +
ד. <math>\lim_{x\rightarrow 1}\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\Big)</math>
 +
 +
 +
===פתרון===

גרסה מ־18:09, 8 בפברואר 2012

שאלה 1

א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה

ב. הוכח/הפרך: אם \lim\sqrt[n]{a_n}=L אזי \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L

פתרון

א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה n_1כך שלכל n>n_1 מתקיים |a_n-L|<1 ולכן L-1<a_n<L+1. סה"כ:

\forall n:\min\{a_1,...,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\}


ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה n, ובמקומות האי-זוגיים n^2:

a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,...

קל לראות כי \lim\sqrt[n]{a_n}=1, אבל לא קיים הגבול \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}

שאלה 2

נניח כי f פונקציה רציפה ב- [0,\infty), גזירה ב- (0,\infty). בנוסף נתון כי f(0)=0 והנגזרת f'מונוטונית עולה ב- (0,\infty).

א. הוכיחו כי f'(x)\geq \frac{f(x)}{x} ב- (0,\infty).

ב. הוכיחו כי הפונקציה g(x)=\frac{f(x)}{x} מונוטונית עולה ב- (0,\infty).

פתרון

א. יהי x>0. נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע [0,x]. לכן קיימת נקודה 0<c<x כך ש:

f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}

אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:

f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x}

כפי שרצינו.


ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה

g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}

כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':


xf'(x)-f(x)\geq x\frac{f(x)}{x}-f(x)=0


שאלה 3

קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:


א. \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n}


ב. \lim_{n\rightarrow\infty}a_n, כאשר a_1=1, ו- a_{n+1}=sin(a_n)


ג. \lim_{x\rightarrow\infty}(sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x})


ד. \lim_{x\rightarrow 1}\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\Big)


פתרון

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/פתרון_מועד_א_מדמח&oldid=19607