שינויים
/* פתרון */
===פתרון===
א.
נבחן את הנגזרת בקטע:
<math>f'(x)=2xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)-cos\Big(\frac{1}{x}\Big)</math>. כיוון שגבולותיה באפס ובאינסוף סופיים והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע.
לכן לפי משפט הפונקציה f רציפה במ"ש בקטע.
ב.
ניקח את שתי הסדרות <math>x_n=\frac{1}{2\pi n}</math>, ו-<math>y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math>. קל לוודא כי:
::<math>|x_n-y_n|\rightarrow 0</math>
::<math>|f'(x_n)-f'(y_n)|\rightarrow 1</math>
ולכן 'f אינה רציפה במ"ש בקטע.
ג.
'''הפרכה''':
<math>f(x)=\sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיוון שבאפס יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת אפס.
הפרכה נוספת:
<math>xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.
