הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏פתרון)
(←‏פתרון)
שורה 152: שורה 152:
  
 
<math>xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.
 
<math>xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.
 +
 +
 +
==שאלה 5==
 +
 +
עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:
 +
 +
 +
א. <math>\sum (-1)^nsin(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})</math>
 +
 +
 +
ב. <math>\sum (-1)^n\frac{n+1}{n^{\sqrt{n}}}</math>
 +
 +
 +
ג. <math>\sum\frac{cos^2\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)}{n}</math>
 +
 +
 +
ד. <math>\sum\frac{n^n}{(n!)^2}</math>
 +
 +
 +
===פתרון===

גרסה מ־20:07, 8 בפברואר 2012

שאלה 1

א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה

ב. הוכח/הפרך: אם \lim\sqrt[n]{a_n}=L אזי \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L

פתרון

א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה n_1כך שלכל n>n_1 מתקיים |a_n-L|<1 ולכן L-1<a_n<L+1. סה"כ:

\forall n:\min\{a_1,...,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\}


ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה n, ובמקומות האי-זוגיים n^2:

a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,...

קל לראות כי \lim\sqrt[n]{a_n}=1, אבל לא קיים הגבול \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}

שאלה 2

נניח כי f פונקציה רציפה ב- [0,\infty), גזירה ב- (0,\infty). בנוסף נתון כי f(0)=0 והנגזרת f'מונוטונית עולה ב- (0,\infty).

א. הוכיחו כי f'(x)\geq \frac{f(x)}{x} ב- (0,\infty).

ב. הוכיחו כי הפונקציה g(x)=\frac{f(x)}{x} מונוטונית עולה ב- (0,\infty).

פתרון

א. יהי x>0. נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע [0,x]. לכן קיימת נקודה 0<c<x כך ש:

f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}

אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:

f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x}

כפי שרצינו.


ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה

g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}

כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':


xf'(x)-f(x)\geq x\frac{f(x)}{x}-f(x)=0


שאלה 3

קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:


א. \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n}


ב. \lim_{n\rightarrow\infty}a_n, כאשר a_1=1, ו- a_{n+1}=sin(a_n)


ג. \lim_{x\rightarrow\infty}(sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x})


ד. \lim_{x\rightarrow 1}\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\Big)


פתרון

א.

נפעיל את משפט הסנדביץ':


2012=\sqrt[n]{2012^n}\leq \sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n}\leq \sqrt[n]{2012^n+2012^n+...+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot 2012^n}\rightarrow 2012


ב.

ידוע כי עבור ערכים חיוביים sin(x)<x ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס, ולכן מתכנס.

L=sin(L) ולכן L=0.

אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה x-sin(x)=0 הקטן מאחד, אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין אפס לאחד (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.


ג.

כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנג' כי |sin(x)-sin(y)|\leq |x-y| לכן,

|sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x}|\leq |\sqrt{x-a}-\sqrt{x}|=|\frac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}|\rightarrow 0


ד.

\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}=\frac{lnx-x+1}{(x-1)lnx}

נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:

\frac{\frac{1}{x}-1}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\frac{1-x}{xlnx+x-1}

שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:

\frac{-1}{lnx + 1 +1}\rightarrow -\frac{1}{2}


ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.

שאלה 4

תהי f(x)=x^2sin\Big(\frac{1}{x}\Big)


א. האם f רציפה במ"ש בתחום (0,\infty)?


ב. האם 'f רציפה במ"ש בתחום (0,\infty)?


ג. הוכח/הפרך: אם g גזירה ורציפה במ"ש ב-(0,\infty) אזי נגזרתה 'g חסומה ב-(0,\infty)


פתרון

א.

נבחן את הנגזרת בקטע:

f'(x)=2xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)-cos\Big(\frac{1}{x}\Big). כיוון שגבולותיה באפס ובאינסוף סופיים והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע.

לכן לפי משפט הפונקציה f רציפה במ"ש בקטע.


ב.

ניקח את שתי הסדרות x_n=\frac{1}{2\pi n}, ו-y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}. קל לוודא כי:

|x_n-y_n|\rightarrow 0
|f'(x_n)-f'(y_n)|\rightarrow 1

ולכן 'f אינה רציפה במ"ש בקטע.


ג.

הפרכה:


f(x)=\sqrt{x} רציפה במ"ש בקטע כיוון שבאפס יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} אינה חסומה בסביבת אפס.


הפרכה נוספת:

xsin\Big(\frac{1}{x}\Big) בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.


שאלה 5

עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:


א. \sum (-1)^nsin(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})


ב. \sum (-1)^n\frac{n+1}{n^{\sqrt{n}}}


ג. \sum\frac{cos^2\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)}{n}


ד. \sum\frac{n^n}{(n!)^2}


פתרון

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/פתרון_מועד_א_מדמח&oldid=19613