שינויים

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]==שאלה 1 ==א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.

אב. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה/הפרך: אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> .

===פתרון===א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_n-L|<1</math> ולכן <math>L-1<a_n<L+1</math> . סה"כ::<math>\forall\ n:\min\{a_1,\ldots,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,\ldots,a_{n_1},L+1\}</math>  ב. הוכח'''הפרכה''': ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה <math>n</הפרךmath> , ובמקומות האי-זוגיים <math>n^2</math> :: אם <math>a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\ldots</math> קל לראות כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L1</math> אזי , אבל לא קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> . '''הפרכה נוספת''': ניקח את הסדרה הבאה:<math>a_n=L1,3,1,3,1,3,\ldots</math>מתקיים:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,3,\frac13,3,\frac13,3,\ldots</math> ולכן לא מתכנס. אבל <math>\sqrt[n]3\to1</math> וכמובן גם <math>\sqrt[n]1\to1</math> ולכן סה"כ <math>\sqrt[n]{a_n}\to1</math> . ==שאלה 2==נניח כי <math>f</math> פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math> , גזירה ב- <math>(0,\infty)</math> . בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> . א. הוכיחו כי <math>f'(x)\ge\frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math> . ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> .

:ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה:<math>g'(x)=\forall n:dfrac{x\min\{a_1,...,a_{n_1},Lcdot f'(x)-1\f(x)}<a_n<\max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\x^2}</math>

ב. '''הפרכה''': ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה <math>n</math>, ובמקומות האי-זוגיים <math>n^2</math>==שאלה 3==קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:

::א. <math>a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1,1,^n+2,4,3,9,4,16,...^n+\cdots+2012^n}</math>

קל לראות כי ב. <math>\lim\sqrt[n]limits_{a_nn\to\infty}=1a_n</math>, אבל לא קיים הגבול כאשר <math>a_1=1\lim,\frac{a_{n+1}}{=\sin(a_n})</math>

==שאלה 2==נניח כי f פונקציה רציפה ב- ג. <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[0,\infty)</math>, גזירה ב- <math>sin\big(0,\inftysqrt{x-a}\big)</math>. בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math>מונוטונית עולה ב- <math>\sin\big(0,\inftysqrt{x}\big)\Big]</math>.

אד. הוכיחו כי <math>f'(x)\geq lim\fraclimits_{f(x)\to1}\left[\dfrac1{x-1}</math> ב- <math>\dfrac1{\ln(0,x)}\infty)right]</math>.

===פתרון===א. נפעיל את משפט הסנדוויץ'::<math>2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}\le\sqrt[n]{2012^n+2012^n+\cdots+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}\to2012</math> ב. הוכיחו ידוע כי הפונקציה עבור ערכים חיוביים <math>g\sin(x)<x</math> ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי <math>0</math> , ולכן מתכנסת. <math>L=\sin(L)</math> ולכן <math>L=0</math> . אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה <math>x-\sin(x)=0</math> הקטן מ- <math>1</math> , אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין <math>0</math> ל- <math>1</math> (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.  ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי <math>\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big|\le|x-y|</math> לכן, :<math>\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le\Big|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\Big|=\left|\dfrac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\right|\to 0</math>  ד.:<math>\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}=\dfrac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}</math>נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת::<math>\dfrac{\frac1x-1}{\ln(x)+\frac{fx-1}{x}}=\dfrac{1-x}{x\ln(x)+x-1}</math>שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת::<math>-\dfrac1{\ln(x)+1+1}\to-\frac12</math> מונוטונית עולה ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי. ==שאלה 4==תהי <math>f(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right)</math> א. האם <math>f</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>? ב- . האם <math>f'</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>? ג.הוכח/הפרך: אם <math>g</math> גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אזי נגזרתה <math>g'</math> חסומה ב- <math>(0,\infty)</math>

א. יהי <mathbr>x>0</math>. נפעיל נבחן את משפט לגראנג' על הפונקציה f הנגזרת בקטע <math>[0,x]</math>. לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש:

::<math>f'(cx)=2x\frac{fcdot\sin\left(x\frac1x\right)-f\cos\left(0\frac1x\right)}{x-0}=</math> . כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע <math>[1,\frac{f(xinfty)}{x}</math>.

אבל מתוך מונוטוניות הנגזרתכמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע <math>(0, אנו מקבלים:1)</math> (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).

::בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה <math>f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x}</math>רציפה במ"ש בקטע.

::<math>g'(x)=\frac{xfBig|f'(xx_n)-f'(xy_n)}{x^2}\Big|\to1</math>

כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף אולכן <math>f':</math> אינה רציפה במ"ש בקטע.

::ג.<br>;הפרכה<math>xf'(x)-f(x)=\geq x\frac{f(x)}sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיון שב-0 יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת <math>0</math>.

<math>x\cdot\sin\left(\tfrac1x\right)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע. ==שאלה 5==עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי: א. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math> ב. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}</math> ג. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}</math> ד. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{(n!)^2}</math> ===פתרון===א. <math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math> לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)\ ,\ \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{\sqrt{n}}</math>חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור <math>0</math>, ושואפת שמה ל- <math>0</math>, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.  ב.<br>ברור שהחל מ- <math>n=9</math> מתקיים <math>\sqrt{n}\ge3</math> ולכן:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\left[\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^3}\right]</math>ולכן הטור מתכנס בהחלט.  ג.<br>בכל מקום זוגי <math>\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1</math> ובכל מקום אי-זוגי זה שווה 0 לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}</math> .  ד.<br>נפעיל את מבחן המנה לקבלת::<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n\big((n+1)!\big)^2}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot\dfrac1{n+1}\to e\cdot0=0</math>ולכן הטור מתכנס בהחלט.