88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

שאלה 1

א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.

ב. הוכח/הפרך: אם $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L$ אזי $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$ .

פתרון

א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה $n_1$ כך שלכל $n>n_1$ מתקיים $|a_n-L|<1$ ולכן $L-1<a_n<L+1$ . סה"כ:

$\forall\ n:\min\{a_1,\ldots,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,\ldots,a_{n_1},L+1\}$

ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה $n$ , ובמקומות האי-זוגיים $n^2$ :

$a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\ldots$

קל לראות כי $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1$ , אבל לא קיים הגבול $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ .

הפרכה נוספת: ניקח את הסדרה הבאה

$a_n=1,3,1,3,1,3,\ldots$

מתקיים

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,3,\frac13,3,\frac13,3,\ldots$

ולכן לא מתכנס. אבל $\sqrt[n]{3}\to1$ וכמובן גם $\sqrt[n]{1}\to1$ ולכן סה"כ $\sqrt[n]{a_n}\to1$ .

שאלה 2

נניח כי $f$ פונקציה רציפה ב- $[0,\infty)$ , גזירה ב- $(0,\infty)$ . בנוסף נתון כי $f(0)=0$ והנגזרת $f'$ מונוטונית עולה ב- $(0,\infty)$ .

א. הוכיחו כי $f'(x)\ge\frac{f(x)}{x}$ ב- $(0,\infty)$ .

ב. הוכיחו כי הפונקציה $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ מונוטונית עולה ב- $(0,\infty)$ .

פתרון

א. יהי $x>0$. נפעיל את משפט לגראנז' על הפונקציה $f$ בקטע $[0,x]$ . לכן קיימת נקודה $0<c<x$ כך ש:

$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}$

אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:

$f'(x)\ge f'(c)=\frac{f(x)}{x}$

כפי שרצינו. $\blacksquare$

ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה

$g'(x)=\frac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}$

כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א':

$x\cdot f'(x)-f(x)\ge x\cdot\frac{f(x)}{x}-f(x)=0$

שאלה 3

קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:

א. $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}$

ב. $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$, כאשר $a_1=1\ ,\ a_{n+1}=\sin(a_n)$

ג. $\lim\limits_{x\to\infty}\Big[\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\Big]$

ד. $\lim\limits_{x\to1}\Big[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\Big]$

פתרון

א. נפעיל את משפט הסנדוויץ':

$2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}\le\sqrt[n]{2012^n+2012^n+\cdots+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}\to2012$

ב. ידוע כי עבור ערכים חיוביים $\sin(x)<x$ ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי $0$ , ולכן מתכנסת.

$L=\sin(L)$ ולכן $L=0$ .

אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה $x-\sin(x)=0$ הקטן מ- $1$ , אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין $0$ ל- $1$ (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.

ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי $\bigg|\sin(x)-\sin(y)\bigg|\le|x-y|$ לכן,

$\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le \bigg|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\bigg|=\Bigg|\frac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\Bigg|\to 0$

ד.

$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}=\frac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}$

נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:

$\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}=\frac{1-x}{x\ln(x)+x-1}$

שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:

$-\frac{1}{\ln(x)+1+1}\to-\frac12$

ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.

שאלה 4

תהי $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

א. האם $f$ רציפה במ"ש בתחום $(0,\infty)$?

ב. האם $f'$ רציפה במ"ש בתחום $(0,\infty)$?

ג. הוכח/הפרך: אם $g$ גזירה ורציפה במ"ש ב- $(0,\infty)$ אזי נגזרתה $g'$ חסומה ב-$(0,\infty)$

פתרון

א.
נבחן את הנגזרת בקטע:

$f'(x)=2x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)-\cos\left(\frac1{x}\right)$ . כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע $[1,\infty)$.

כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע $(0,1)$ (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).

בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה $f$ רציפה במ"ש בקטע.

ב.
ניקח את שתי הסדרות $x_n=\frac1{2\pi n}$, ו- $y_n=\frac1{\frac{\pi}{2}+2\pi n}$ . קל לוודא כי:

$|x_n-y_n|\to 0$

$\bigg|f'(x_n)-f'(y_n)\bigg|\to 1$

ולכן $f'$ אינה רציפה במ"ש בקטע.

ג.
הפרכה:

$f(x)=\sqrt{x}$ רציפה במ"ש בקטע כיון שב- $0$ יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$ אינה חסומה בסביבת $0$.

הפרכה נוספת:

$x\cdot\sin\Big(\frac1{x}\Big)$ בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.

שאלה 5

עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:

א. $\sum (-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)$

ב. $\sum (-1)^n\frac{n+1}{n^\sqrt{n}}$

ג. $\sum\frac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}$

ד. $\sum\frac{n^n}{(n!)^2}$

פתרון

א.

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים

$\sum \sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)$, ו- $\sum\frac1{\sqrt{n}}$

חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט.

כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור $0$, ושואפת שמה ל- $0$, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.

ב.
ברור שהחל מ- $n=9$ מתקיים $\sqrt{n}\ge 3$ ולכן

$\sum\frac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le \frac{n+1}{n^3}= \sum \frac1{n^2}+\frac1{n^3}$

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

ג.
בכל מקום זוגי $\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1$ ובכל מקום אי-זוגי זה שווה $0$ לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר

$\sum\frac1{2n}$ .

ד.
נפעיל את מבחן המנה לקבלת:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n \big((n+1)!\big)^2}=\bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^n\cdot \frac1{n+1}\to e\cdot 0 =0$

ולכן הטור מתכנס בהחלט.