88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

שאלה 1

א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה

ב. הוכח/הפרך: אם $\lim\sqrt[n]{a_n}=L$ אזי $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$

פתרון

א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה $n_1$כך שלכל $n>n_1$ מתקיים $|a_n-L|<1$ ולכן $L-1<a_n<L+1$. סה"כ:

$\forall n:\min\{a_1,...,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\}$

ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה $n$, ובמקומות האי-זוגיים $n^2$:

$a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,...$

קל לראות כי $\lim\sqrt[n]{a_n}=1$, אבל לא קיים הגבול $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$