הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה 4)
(←‏פתרון)
שורה 113: שורה 113:
  
 
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז''' קיים <math>x<c<x+h</math> כך ש-
 
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז''' קיים <math>x<c<x+h</math> כך ש-
 +
  
 
::<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
 
::<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

גרסה מ־15:17, 23 בפברואר 2012


שאלה 1

צטטו והוכיחו את הלמה של קנטור

שאלה 2

א. חשבו את הגבול

\lim_{x\rightarrow 0}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}\Big)


ב. קבעו האם הגבול קיים:

\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}


פתרון

א.

\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}=\frac{sin(x)-x}{xsin(x)}

כיוון שהמונה והמכנה שואפים לאפס, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.

\frac{cos(x)-1}{sin(x)+xcos(x)}

שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.

\frac{-sin(x)}{cos(x)+cos(x)-xsin(x)}

כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.


ב.

נסמן את איברי הסדרה ב

a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}


קל לראות כי

a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}\leq \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}\leq 0

ולכן הסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת.

שאלה 3

קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

א. \sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}}


ב. \sum\frac{cos\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)}{2n+\sqrt{n}}

פתרון

א. \sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}}=\sum\frac{n\frac{1-n^{n}}{1-n}}{n^{n+2}}=\sum\frac{1-n^{n}}{(1-n)n^{n+1}}=\sum\frac{1}{(1-n)n^{n+1}}-\frac{1}{(1-n)n}

ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.


ב.כיוון שהקוסינוס מקבל את הערכים אפס אחד ומינוס אחד במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור

\sum\frac{(-1)^n}{2(2n+1)+\sqrt{2n+1}}

קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיוון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ'.


שאלה 4

תהי f מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב-0 ומקיימת f(x+y)=f(x)+f(y) לכל זוג מספרים x,y\in\mathbb{R}.

הוכיחו כי f רציפה על כל הממשיים.

פתרון

  • ראשית נבחין כי f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ולכן f(0)=0


  • כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:


  • תהי x_o\neq x_n\rightarrow x_0, אזי \lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0)


  • כיוון שהפונקציה רציפה באפס, וכיוון ש 0\neq x_n-x_0\rightarrow 0, מתקיים \lim f(x_n-x_0)=0


  • ביחד \lim f(x_n) = f(x_0), ולכן לפי היינה מתקיים \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) ולכן הפונקציה רציפה.

שאלה 6

תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי הגבול \lim_{x\rightarrow\infty}f'(x) קיים וגדול מאפס.

הוכיחו כי f אינה חסומה מלעיל.


פתרון

  • נסמן \lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=L>0. לכן קיים M כך שלכל x>M מתקיים f'(x)>\frac{L}{2}>0.


  • לכן, החל מ- M הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.


  • נניח בשלילה כי הפונקציה f חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמן ב-K.


  • לפי הגדרת הגבול, קיים 'M כך שלכל x>M' מתקיים |f(x)-K|<\frac{k}{2}


  • לכן ביחד לכל זוג x,y>M' מתקיים |f(x)-f(y)|< K


  • ניקח x>M,M' אזי לכל h>0 לפי משפט לגראנז קיים x<c<x+h כך ש-


f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}


  • כעת, מתקיים f'(c)>\frac{L}{2}, אבל מצד שני \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq \frac{K}{h} ולכן עבור h מספיק גדול נקבל סתירה.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/פתרון_מועד_א_מתמטיקאים&oldid=20114