הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(פתרון)
 
(9 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 5: שורה 5:
  
 
==שאלה 2==
 
==שאלה 2==
 
+
א. חשבו את הגבול
א. חשבו את הגבול  
+
:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac1x-\frac{1}{\sin(x)}\right]</math>
::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}\Big)</math>
+
  
  
 
ב. קבעו האם הגבול קיים:
 
ב. קבעו האם הגבול קיים:
 
+
:<math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac1k</math>
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}</math>
+
 
+
  
 
===פתרון===
 
===פתרון===
 
+
א.
א.  
+
:<math>\frac1x-\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)-x}{x\sin(x)}</math>
 
+
כיון שהמונה והמכנה שואפים ל-0, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.
::<math>\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}=\frac{sin(x)-x}{xsin(x)}</math>
+
:<math>\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}</math>
 
+
כיוון שהמונה והמכנה שואפים לאפס, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.
+
 
+
::<math>\frac{cos(x)-1}{sin(x)+xcos(x)}</math>
+
 
+
 
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
 
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
 
+
:<math>\frac{-\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x\sin(x)}</math>
::<math>\frac{-sin(x)}{cos(x)+cos(x)-xsin(x)}</math>
+
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא 0.
 
+
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.
+
 
+
 
+
ב.
+
 
+
נסמן את איברי הסדרה ב
+
::<math>a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}</math>
+
  
  
 +
ב. נסמן את אברי הסדרה
 +
:<math>a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac1k</math>
 
קל לראות כי
 
קל לראות כי
 
+
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac1k\le\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac1k\le0</math>
::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}\leq \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}\leq 0</math>
+
ולכן הסדרה '''מונוטונית''' יורדת ו'''חסומה''' מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת.
 
+
ולכן הסדרה '''מונוטונית''' יורדת ו'''חסומה''' מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת.
+
  
 
==שאלה 3==
 
==שאלה 3==
 
קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
 
קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
  
א. <math>\sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}}</math>
+
א. <math>\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n+\cdots+n^n}{n^{n+2}}</math>
  
  
ב. <math>\sum\frac{cos\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)}{2n+\sqrt{n}}</math>
+
ב. <math>\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2n+\sqrt n}</math>
  
 
===פתרון===
 
===פתרון===
 
+
א. <math>{\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n+\cdots+n^n}{n^{n+2}}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n\cdot\frac{n^n-1}{n-1}}{n^{n+2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^n-1}{n^{n+1}(n-1)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n(n-1)}-\dfrac{1}{n^{n+1}(n-1)}</math>
 
+
א. <math>\sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}}=\sum\frac{n\frac{1-n^{n}}{1-n}}{n^{n+2}}=\sum\frac{1-n^{n}}{(1-n)n^{n+1}}=\sum\frac{1}{(1-n)n^{n+1}}-\frac{1}{(1-n)n}</math>
+
  
 
ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
 
ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
  
  
 
+
ב.כיון שהקוסינוס מקבל את הערכים <math>1,0,-1</math> במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור
ב.כיוון שהקוסינוס מקבל את הערכים אפס אחד ומינוס אחד במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור
+
:<math>\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{2(2n)+\sqrt{2n}}</math>
 
+
קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ.
::<math>\sum\frac{(-1)^n}{2(2n+1)+\sqrt{2n+1}}</math>
+
 
+
קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיוון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ'.
+
 
+
  
 
==שאלה 4==
 
==שאלה 4==
תהי f מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב-0 ומקיימת <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math> לכל זוג מספרים <math>x,y\in\mathbb{R}</math>.
+
תהי <math>f</math> מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב- <math>0</math> ומקיימת <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math> לכל זוג מספרים <math>x,y\in\R</math>.
  
הוכיחו כי f רציפה על כל הממשיים.
+
הוכיחו כי <math>f</math> רציפה על כל הממשיים.
  
 
===פתרון===
 
===פתרון===
 
 
*ראשית נבחין כי <math>f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)</math> ולכן <math>f(0)=0</math>
 
*ראשית נבחין כי <math>f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)</math> ולכן <math>f(0)=0</math>
 
 
 
*כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:
 
*כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:
 
+
*תהי <math>x_o\ne x_n\to x_0</math>, אזי <math>\lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0)</math>
 
+
*כיון שהפונקציה רציפה ב- <math>0</math> וכיון ש- <math>0\ne x_n-x_0\to 0</math>, מתקיים <math>\lim f(x_n-x_0)=0</math>
*תהי <math>x_o\neq x_n\rightarrow x_0</math>, אזי <math>\lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0)</math>
+
*ביחד <math>\lim f(x_n) = f(x_0)</math>, ולכן לפי היינה מתקיים <math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> ולכן הפונקציה רציפה.
 
+
 
+
*כיוון שהפונקציה רציפה באפס, וכיוון ש <math>0\neq x_n-x_0\rightarrow 0</math>, מתקיים <math>\lim f(x_n-x_0)=0</math>
+
 
+
 
+
*ביחד <math>\lim f(x_n) = f(x_0)</math>, ולכן לפי היינה מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)</math> ולכן הפונקציה רציפה.
+
  
 
==שאלה 5==
 
==שאלה 5==
מצאו פולינום <math>p(x)</math> כך שלכל <math>x\in [0,1]</math> מתקיים <math>|cos(x)-p(x)|<10^{-4}</math>
+
מצאו פולינום <math>p(x)</math> כך שלכל <math>x\in [0,1]</math> מתקיים <math>\Big|\cos(x)-p(x)\Big|<10^{-4}</math>
 
+
  
 
===פתרון===
 
===פתרון===
שורה 98: שורה 66:
 
מי מתנדב לתרום את התשובה המלאה?
 
מי מתנדב לתרום את התשובה המלאה?
 
אני!
 
אני!
לפי [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8 פונקציה זו]] ניתן לראות שבסה"כ צריך לגזור כמה פעמים(אם כי זה היה טריקי ונאלצתי לכתת חיפושיי באינטרנט). ע"פ פיתוח טיילור הפולינום של קוסינוס זה מה שמופיע וזה מספיק בשביל לקיים את התנאי הדרוש.
+
לפי [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8 פונקציה זו]] ניתן לראות שבסה"כ צריך לגזור כמה פעמים (אם כי זה היה טריקי ונאלצתי לכתת חיפושיי באינטרנט). ע"פ פיתוח טיילור הפולינום של קוסינוס זה מה שמופיע וזה מספיק בשביל לקיים את התנאי הדרוש.
אני צודק ארז או שזה לא מספיק?
+
אני צודק ארז או שזה לא מספיק?\\
<math>|cos(x)-1+x^2/2-x^4/24+x^6/6!|<1/10^4 </math>
+
אז ככה: ניקח את <math>a=0</math> ואז כל סינוס מתאפס ובעצם מה שנשאר זה הנוסחה הבאה:
 +
<math>(-1)^i*x^(2i)/(2i)!</math>
 +
כי קוסינוס אפס תמיד שווה אחד, ואז מה שקובע זה מספר הגזירה לסימן.עכשיו רק נותר למצוא את ה-I שיביא את השארית הרצויה, והוא שלוש(שימו לב שהתחלתי מאפס)
 +
<math>\Bigg|\cos(x)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\frac{x^6}{6!}\Bigg|<\frac1{10^4} </math>
  
 
==שאלה 6==
 
==שאלה 6==
תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי הגבול <math>\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)</math> קיים וגדול מאפס.
+
תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)>0</math>.
 
+
הוכיחו כי f אינה חסומה מלעיל.
+
  
 +
הוכיחו כי <math>f</math> אינה חסומה מלעיל.
  
 
===פתרון===
 
===פתרון===
 
+
*נסמן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=L>0</math> . לכן קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>f'(x)>\frac{L}{2}>0</math> .
*נסמן <math>\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=L>0</math>. לכן קיים M כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>f'(x)>\frac{L}{2}>0</math>.
+
*לכן, החל מ-<math>M</math> הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.  
 
+
*נניח בשלילה כי הפונקציה <math>f</math> חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמנו <math>K</math> .
 
+
*לפי הגדרת הגבול, קיים <math>M'</math> כך שלכל <math>x>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-K\Big|<\frac{k}{2}</math> .
*לכן, החל מ- M הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.  
+
*לכן ביחד לכל זוג <math>x,y>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|< K</math>
 
+
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז'''' קיים <math>x<c<x+h</math> עבורו
 
+
:<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*נניח בשלילה כי הפונקציה f חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמן ב-K.
+
*כעת, מתקיים <math>f'(c)>\frac{L}{2}</math> , אבל מצד שני <math>\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\le\dfrac{K}{h}</math> ולכן עבור <math>h</math> גדול מספיק נקבל סתירה.
 
+
 
+
*לפי הגדרת הגבול, קיים 'M כך שלכל <math>x>M'</math> מתקיים <math>|f(x)-K|<\frac{k}{2}</math>
+
 
+
 
+
*לכן ביחד לכל זוג <math>x,y>M'</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|< K</math>
+
 
+
 
+
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז''' קיים <math>x<c<x+h</math> כך ש-
+
 
+
 
+
::<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
+
 
+
 
+
*כעת, מתקיים <math>f'(c)>\frac{L}{2}</math>, אבל מצד שני <math>\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq \frac{K}{h}</math> ולכן עבור h מספיק גדול נקבל סתירה.
+

גרסה אחרונה מ־22:16, 18 בדצמבר 2017


שאלה 1

צטטו והוכיחו את הלמה של קנטור

שאלה 2

א. חשבו את הגבול

\lim_{x\to0}\left[\frac1x-\frac{1}{\sin(x)}\right]


ב. קבעו האם הגבול קיים:

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac1k

פתרון

א.

\frac1x-\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)-x}{x\sin(x)}

כיון שהמונה והמכנה שואפים ל-0, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.

\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}

שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.

\frac{-\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x\sin(x)}

כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא 0.


ב. נסמן את אברי הסדרה

a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac1k

קל לראות כי

a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac1k\le\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac1k\le0

ולכן הסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי 0 ולכן מתכנסת.

שאלה 3

קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

א. \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n+\cdots+n^n}{n^{n+2}}


ב. \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2n+\sqrt n}

פתרון

א. {\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n+\cdots+n^n}{n^{n+2}}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n\cdot\frac{n^n-1}{n-1}}{n^{n+2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^n-1}{n^{n+1}(n-1)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n(n-1)}-\dfrac{1}{n^{n+1}(n-1)}

ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.


ב.כיון שהקוסינוס מקבל את הערכים 1,0,-1 במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{2(2n)+\sqrt{2n}}

קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ.

שאלה 4

תהי f מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב- 0 ומקיימת f(x+y)=f(x)+f(y) לכל זוג מספרים x,y\in\R.

הוכיחו כי f רציפה על כל הממשיים.

פתרון

  • ראשית נבחין כי f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ולכן f(0)=0
  • כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:
  • תהי x_o\ne x_n\to x_0, אזי \lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0)
  • כיון שהפונקציה רציפה ב- 0 וכיון ש- 0\ne x_n-x_0\to 0, מתקיים \lim f(x_n-x_0)=0
  • ביחד \lim f(x_n) = f(x_0), ולכן לפי היינה מתקיים \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) ולכן הפונקציה רציפה.

שאלה 5

מצאו פולינום p(x) כך שלכל x\in [0,1] מתקיים \Big|\cos(x)-p(x)\Big|<10^{-4}

פתרון

קלי קלות באמצעות טיילור.

מי מתנדב לתרום את התשובה המלאה? אני! לפי [פונקציה זו] ניתן לראות שבסה"כ צריך לגזור כמה פעמים (אם כי זה היה טריקי ונאלצתי לכתת חיפושיי באינטרנט). ע"פ פיתוח טיילור הפולינום של קוסינוס זה מה שמופיע וזה מספיק בשביל לקיים את התנאי הדרוש. אני צודק ארז או שזה לא מספיק?\\ אז ככה: ניקח את a=0 ואז כל סינוס מתאפס ובעצם מה שנשאר זה הנוסחה הבאה: (-1)^i*x^(2i)/(2i)! כי קוסינוס אפס תמיד שווה אחד, ואז מה שקובע זה מספר הגזירה לסימן.עכשיו רק נותר למצוא את ה-I שיביא את השארית הרצויה, והוא שלוש(שימו לב שהתחלתי מאפס) \Bigg|\cos(x)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\frac{x^6}{6!}\Bigg|<\frac1{10^4}

שאלה 6

תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי קיים הגבול \lim\limits_{x\to\infty}f'(x)>0.

הוכיחו כי f אינה חסומה מלעיל.

פתרון

  • נסמן \lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=L>0 . לכן קיים M כך שלכל x>M מתקיים f'(x)>\frac{L}{2}>0 .
  • לכן, החל מ-M הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.
  • נניח בשלילה כי הפונקציה f חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמנו K .
  • לפי הגדרת הגבול, קיים M' כך שלכל x>M' מתקיים \Big|f(x)-K\Big|<\frac{k}{2} .
  • לכן ביחד לכל זוג x,y>M' מתקיים \Big|f(x)-f(y)\Big|< K
  • ניקח x>M,M' אזי לכל h>0 לפי משפט לגראנז' קיים x<c<x+h עבורו
f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
  • כעת, מתקיים f'(c)>\frac{L}{2} , אבל מצד שני \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\le\dfrac{K}{h} ולכן עבור h גדול מספיק נקבל סתירה.