שינויים
/* שאלה 6 */
==שאלה 6==
תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי קיים הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}f'(x)</math> קיים וגדול מ- <math>0</math> .
הוכיחו כי <math>f</math> אינה חסומה מלעיל.
===פתרון===
*נסמן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=L>0</math>. לכן קיים <math>M</math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>f'(x)>\frac{L}{2}>0</math> .*לכן, החל מ- <math>M</math> הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.
*נניח בשלילה כי הפונקציה <math>f</math> חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמנו <math>K</math> .
*לפי הגדרת הגבול, קיים <math>M'</math> כך שלכל <math>x>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-K\Big|<\frac{k}{2}</math> .
*לכן ביחד לכל זוג <math>x,y>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|< K</math>
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז'''' קיים <math>x<c<x+h</math> כך ש-עבורו
:<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*כעת, מתקיים <math>f'(c)>\frac{L}{2}</math>, אבל מצד שני <math>\fracdfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\le \fracdfrac{K}{h}</math> ולכן עבור <math>h</math> גדול מספיק נקבל סתירה.
