נוספו 1,421 בתים,
14:46, 23 בפברואר 2012 [[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
==שאלה 1==
צטטו והוכיחו את [[הלמה של קנטור]]
==שאלה 2==
א. חשבו את הגבול
::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}\Big)</math>
ב. קבעו האם הגבול קיים:
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}</math>
===פתרון===
א.
::<math>\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}=\frac{sin(x)-x}{xsin(x)}</math>
כיוון שהמונה והמכנה שואפים לאפס, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.
::<math>\frac{cos(x)-1}{sin(x)+xcos(x)}</math>
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
::<math>\frac{-sin(x)}{cos(x)+cos(x)-xsin(x)}</math>
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.
ב.
נסמן את איברי הסדרה ב
::<math>a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}</math>
קל לראות כי
::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}\leq \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}\leq 0</math>
ולכן הסדרה '''מונוטונית''' יורדת ו'''חסומה''' מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת.