הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1== ===סעיף ב=== ידוע כי <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math> נניח ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cd...")
 
שורה 50: שורה 50:
  
 
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty  a_n</math> מתבדר.
 
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty  a_n</math> מתבדר.
 +
 +
==שאלה 2==
 +
 +
===סעיף א===
 +
 +
טענת עזר: אם <math>A,B</math> קבוצות חסומות מלעיל אז
 +
 +
 +
<math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>
 +
 +
 +
הוכחה: נוכיח שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math>  מקיים את התכונות של <math>\sup(A+B)</math>
 +
 +
* תכונה א': חסם מלעיל של <math>A+B</math>. הוכחה:
 +
 +
 +
אם <math>x\in A+B</math> אז ניתן לכתוב <math>x=a+b</math> כאשר <math>a\in A, b\in B</math>.
 +
 +
היות ו <math>a\leq \sup(A)</math> ו <math>b\leq \sup(B)</math> מתקיים
 +
 +
<math>x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)</math>
 +
 +
 +
* תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
 +
 +
יהי <math>y</math> איזשהוא חסם מלעיל של <math>A+B</math>
 +
 +
נניח בשלילה ש <math>y<\sup(A)+\sup(B)</math>
 +
 +
אז נקבל ש <math>y-\sup(B)<\sup(A)</math>
 +
 +
ולכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>y-\sup(B)<a</math>
 +
 +
מכאן נקבל <math>y-a<\sup(B)</math>
 +
 +
ולכן קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>y-a<b</math>
 +
 +
ולכן <math>y<a+b\in A+B</math>
 +
 +
בסתירה לכך ש <math>y</math> חסם מלעיל של <math>A+B</math>
 +
 +
לכן בהכרח מתקיים <math>\sup(A)+\sup(B)\leq y</math>
 +
 +
לסיכום: הוכחנו שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
 +
 +
ולכן <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>. מש"ל טענת עזר.
 +
 +
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
 +
 +
<math>\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)</math>
 +
 +
מש"ל.
 +
 +
===סעיף ב===
 +
 +
הפרכה פשוטה, ניקח <math>a_n=-\frac{1}{n}</math> ו <math>b_n=\frac{1}{n}</math>
 +
 +
מתקיים שלכל <math>n\in \mathbb{N}</math>
 +
<math>a_n<b_n</math>
 +
(ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>).
 +
 +
אבל
 +
 +
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0</math>
 +
 +
 +
שתי הערות:
 +
א) כמעט לכל <math>n</math> פירושו: לכל <math>n</math> פרט למספר סופי של מקרים.
 +
 +
אן לחילופין: קיים <math>N\in \mathbb{N}</math> כך שהטענה מתקיימת לכל <math>n>N</math>.
 +
 +
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
 +
 +
אם <math>a_n\leq b_n</math> ו
 +
 +
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b</math>
 +
 +
אז
 +
 +
<math>a\leq b</math>.

גרסה מ־11:57, 28 בינואר 2013

שאלה 1

סעיף ב

ידוע כי \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0

נניח ש

\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0


נסמן b_n=a_n\cdot n

כלומר

\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0


טענת עזר: קיים N כך שאם n>N אז b_n>\frac{c}{2}

(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב b_n שיותר קטנים מ \frac{c}{2})

הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ b_n שעבורם b_n\leq \frac{c}{2}

אז קיימת תת סדרה b_{n_k} כך ש b_{n_k}\leq \frac{c}{2} לכל k\in \mathbb{N}

נשים לב ש b_n היא חסומה מלרע ולכן b_{n_k} חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

לכן ל b_{n_k} יש תת סדרה מתכנסת b_{n_{k_l}} כך ש

\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}

וזאת בסתירה לכך ש \liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}

זה מוכיח את טענת העזר.

כעת, אנחנו יודעים שהחל מ N\in \mathbb{N} כלשהוא מתקיים

b_n>\frac{c}{2}

אבל בגלל ש b_n=a_n\cdot n זה אומר שהחל מאותו N\in \mathbb{N} מתקיים

a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}

בגלל שהטור \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} מתבדר

נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור \ \sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר.

שאלה 2

סעיף א

טענת עזר: אם A,B קבוצות חסומות מלעיל אז


\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)


הוכחה: נוכיח שהמספר \sup(A)+\sup(B) מקיים את התכונות של \sup(A+B)

  • תכונה א': חסם מלעיל של A+B. הוכחה:


אם x\in A+B אז ניתן לכתוב x=a+b כאשר a\in A, b\in B.

היות ו a\leq \sup(A) ו b\leq \sup(B) מתקיים

x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)


  • תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:

יהי y איזשהוא חסם מלעיל של A+B

נניח בשלילה ש y<\sup(A)+\sup(B)

אז נקבל ש y-\sup(B)<\sup(A)

ולכן קיים a\in A כך ש y-\sup(B)<a

מכאן נקבל y-a<\sup(B)

ולכן קיים b\in B כך ש y-a<b

ולכן y<a+b\in A+B

בסתירה לכך ש y חסם מלעיל של A+B

לכן בהכרח מתקיים \sup(A)+\sup(B)\leq y

לסיכום: הוכחנו שהמספר \sup(A)+\sup(B) מקיים את שתי התכונות של חסם עליון

ולכן \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B). מש"ל טענת עזר.

עכשיו קל להוכיח את הדרוש:

\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)

מש"ל.

סעיף ב

הפרכה פשוטה, ניקח a_n=-\frac{1}{n} ו b_n=\frac{1}{n}

מתקיים שלכל n\in \mathbb{N} a_n<b_n (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל n\in \mathbb{N}).

אבל

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0


שתי הערות: א) כמעט לכל n פירושו: לכל n פרט למספר סופי של מקרים.

אן לחילופין: קיים N\in \mathbb{N} כך שהטענה מתקיימת לכל n>N.

ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה

אם a_n\leq b_n ו

\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b

אז

a\leq b.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעג/פתרון_מועד_א_-_גרסת_שנפס&oldid=31854