88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1

שאלה 1 (40 נק)

סעיף א

תהיינה שתי סדרות $a_n,b_n$ כך ש:

1. $\lim a_n-b_n=0$

2. $\lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}$

הוכיחו/הפריכו:

$\lim a_n^2-b_n^2= 0$

סעיף ב

תהי סדרה $a_n$ וקבוע $0<q<1$ כך ש

$\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|$

הוכיחו כי $a_n$ מתכנסת.

(רמז: יש בשאלה הזו קושי)

שאלה 2 (40 נק)

סעיף א

לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.

1. הוכיחו/הפריכו: $sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}$

2. הוכיחו/הפריכו: $sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}$

סעיף ב

נניח $\lim a_n-b_n=0$.

הוכיחו/הפריכו: $\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n$