שינויים

<math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n</math> (הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון) היות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0</math>,  אז כמובן ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0</math> (כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר). ולכן <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n</math> כלומר <math>\overline{\lim}a_n</math> הוא גם גבול חלקי של <math>b_n</math> ולכן  <math>\overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n</math>(כי <math>\overline{\lim}b_n</math> הוא הגבול החלקי הגדול ביותר) בדרך דומה מוכיחים  <math>\overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n</math> ולכן <math>\overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n</math> כנדרש