לכן אם נוכיח כי <math>a_n+b_n</math> היא סדרה חסומה, נקבל כי אכן <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n^2-b_n^2= 0</math>.
לכן נותר להוכיח כי <math>a_n+b_n</math> סדרה חסומה.
נניח בשלילה שהיא לא חסומה. בלי הגבלת הכלליות נניח שהיא לא חסומה מלעיל (אם היא לא חסומה מלרע ההוכחה דומה)
%היות ש <math>a_n+b_n</math> לא חסומה מלעיל, יש לה תת סדרה <math>a_{n_n_k}+b_{n_k}</math> כך ש <math>\displaystyle{\lim_{k\to\infty}}a_{n_k}+b_{n_k}=\infty</math> והיות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n-b_n=0</math>כמובן שגם <math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0</math> אם נסכום את שתי הסדרות האלה נקבל ש <math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} 2a_{n_k}=\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}-b_{n_k}+\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}+b_{n_k}=\infty</math> ולכן ממילא <math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}=\infty</math> וכמובן ש <math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} (a_{n_k})^2=\infty</math> ולכן לפי משפט הסנדויץ גם <math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} (a_{n_k})^2+(b_{n_k})^2=\infty</math> בסתירה לנתון.
===סעיף ב===
