::<math>\lim a_n^2-b_n^2= 0</math>
(בכתיבה)פתרוןמשופר ומעודכן: הטענה נכונה.
נשים לב ש
לכן נותר להוכיח כי <math>a_n+b_n</math> סדרה חסומה.
נניח בשלילה שהיא לא חסומה. בלי הגבלת הכלליות נניח שהיא לא חסומה מלעיל היות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (אם היא לא חסומה מלרע ההוכחה דומהa_{n})^2+(b_{n})^2=L\in\mathbb{R}</math>
היות ש <math>a_n+b_n</math> לא חסומה מלעיל, יש לה תת סדרה נקבל כי הסדרה <math>(a_{n_kn})^2+(b_{n_kn})^2</math> כך ש חסומה.
אבל <math>0\displaystyleleq(a_{n})^2\lim_{k\to\infty}}leq(a_{n_kn})^2+(b_{n_kn}=\infty)^2</math>
והיות ש ולכן גם <math>\displaystyle{\lim_(a_{n\to \infty}} )^2</math> סדרה חסומה ולכן גם <math>a_n-b_n=0</math>כמובן שגם חסומה.
באופן דומה מראים ש <math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0b_n</math>חסומה ולכן גם סכומן חסום כנדרש.
אם נסכום את שתי הסדרות האלה נקבל ש
<math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} 2a_{n_k}=\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}-b_{n_k}+\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}+b_{n_k}=\infty</math>
ולכן ממילא
<math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} a_{n_k}=\infty</math>
וכמובן ש
<math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} (a_{n_k})^2=\infty</math>
ולכן לפי משפט הסנדויץ גם
<math>\displaystyle{\lim_{k\to \infty}} (a_{n_k})^2+(b_{n_k})^2=\infty</math>
בסתירה לנתון.
===סעיף ב===
