שינויים
/* מבחן מועד א' */
==הודעות==
===מבחן מועד א'===
[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|פתרון מועד א']]
[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|פתרון מועד ב']]
===ציוני התרגיל===
[[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf| ציונים]]. הציון הינו ממוצע של 9 התרגילים הטובים והבוחן. ערעורים יש להגיש בהקדם, נא לא להגיש ערעור על תרגיל אם זה לא משפיע על הציון הסופי.
===פתרון שאלה משיעור החזרה===
====שאלה====
תהי <math>b_n</math> סדרה חיובית יורדת
# הוכח ש<math>nb_n\rightarrow 0</math> הינו תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum b_n</math>
# הוכח דרך דוגמא שתנאי זה אינו מספיק להתכנסות הטור
# הוכח דרך דוגמא שהתנאי אינו הכרחי אם <math>b_n</math> אינה יורדת
====פתרון====
1.
אם הטור מתכנס, אזי הסדרה b_n שואפת לאפס ולכן מתקיימים תנאי מבחן העיבוי. לכן הטור <math>\sum 2^nb_{2^n}</math> מתכנס ולכן הסדרה <math>2^nb_{2^n}</math> שואפת לאפס.
לכל n קיים k כך ש <math>2^k<n<2^{k+1}</math>. מכיוון שהסדרה יורדת מתקיים <math>b_{2^{k}}\geq b_n \geq b_{2^{k+1}}</math>. לכן <math>nb_{2^{k}}\geq nb_n \geq nb_{2^{k+1}}</math> ולכן
<math>2^{k+1}b_{2^{k}}\geq nb_n \geq 2^kb_{2^{k+1}}</math>.
אבל <math>2^{k+1}b_{2^{k}}=2\cdot 2^kb_{2^k}\rightarrow 0</math> וכמו כן <math>2^{k}b_{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\cdot 2^kb_{2^k}\rightarrow 0</math>
ולפי חוק הסנדביץ גם הסדרה <math>nb_n</math> שואפת לאפס.
2.
ניקח את הטור <math>\sum\frac{1}{nlogn}</math> שלמדנו שאינו מתכנס לפי מבחן העיבוי. למרות זאת, <math>n\cdot\frac{1}{nlogn}=\frac{1}{logn}\rightarrow 0</math>
3.
ניקח את הסדרה b_n ששווה לאפס כאשר n אינו ריבוע שלם ושווה ל<math>\frac{1}{n}</math> אחרת.
כלומר <math>b_n=1,0,0,\frac{1}{4},0,0,0,0,\frac{1}{9},0,0,...</math>
אזי הטור שווה בעצם ל<math>\sum \frac{1}{n^2}</math> והוא מתכנס, אבל ל<math>nb_n</math> יש תת-סדרה ששואפת ל1 ולכן אינה שואפת לאפס.
===שיעורי חזרה===
*יום א' 23/01/11 בשעה 14:00 בחדר מחלקה
*יום ה' 27/01/11 בשעה 12:00 בחדר מחלקה
===מבחן מועד א' של שנה שעברה ופתרונו===
[[מדיה:09Infi1TestA.pdf| מבחן]], [[מדיה:09Infi1TestASol.pdf| פתרון]]
===משפטים לפתרון תרגילי רציפות במ"ש===
להוכחה:
* המשפט הראשון בתרגיל, שניתן להכליל אותו כך: תהי פונקציה רציפה בקטע A (גם לא סופי). אם יש לה גבולות סופיים בקצות הקטע (גם אם קצה הקטע הוא אינסוף) אזי היא רציפה במ"ש בקטע.
* פונקציה מחזורית שרציפה על כל הממשיים - רציפה במ"ש בכל הממשיים.
* הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש. (יש לשים לב שהפונקציה החיצונית רציפה במ"ש על התמונה של הפנימית, למעשה).
* סכום של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש (אבל כפל לא - x^2=xx).
* תהי f פונקציה רציפה. אם הנגזרת של f חסומה בקטע אזי f רציפה בו במ"ש
לשלילה:
*אם קיים <math>\epsilon > 0</math> וקיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n \in A</math> המקיימות: <math>|x_n-y_n|\rightarrow 0</math> וגם <math>\forall n: |f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon</math> אזי הפונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A.
*אם פונקציה אינה חסומה בקטע '''סופי''' אזי היא אינה רציפה בו במ"ש.
*אם פונקציה אינה רציפה או אינה מוגדרת בקטע היא אינה רציפה בו במ"ש.
===הבוחן ופתרונו===
[[מדיה:10Infi1Bohan.pdf| בוחן]], [[מדיה:10Infi1BohanSol.pdf| פתרון]]
===ציוני הבוחן===
[[מדיה:10Infi1BohanGrades.pdf| ציונים]]
===לגבי הבוחן===
העובדה ששאלה מסוימת הופיעה בבוחן בשנה שעברה, לא פוסלת אותה מלהופיע שוב השנה.
===בוחן לתלמידים של פרופ' זלצמן===
בתאריך 06/12/10 יתקיים בוחן על חשבון ההרצאה של אינפי לשתי הקבוצות של פרופ' זלצמן. (בניין 507, חדר 005 שעה 12:00)
החומר לבוחן הוא כל מה שנלמד בתרגול ובהרצאה עד ולא כולל פונקציות (חסמים, סדרות, טורים), סגנון הבוחן דומה לתרגיל (התרגיל בכיתה ותרגילי הבית)
דגשים:
#יש לדעת לצטט '''במדוייק''' את '''כל ההגדרות''' והמשפטים שנלמדו, תהיה שאלה של ציטוט הגדרות ומשפטים.
#יש לעבור על שיעורי הבית (ראה הודעה קודמת) '''תהיה שאלה מתוך שיעורי הבית''' (מן הסתם מהשאלות הפחות טריוויאליות).
#פתרון הבוחן צריך להעשות על ידי '''הוכחות מתמטיות בלבד'''. טיעוניים של 'בערך' לא יקבלו ניקוד כלל.
#ניתן להסתכל '''[[מדיה:09Infi1Bohan.pdf |בבוחן משנה שעברה]]'''. המבנה אינו חייב להיות זהה, אבל זה תרגול טוב. [[מדיה:09Infi1BohanSol.pdf|פתרון הבוחן]].
#מטרת הבוחן, מלבד הציון, הינה להציב מולכם מראה של מצבכם הנוכחי. גם אם לא תצליחו בבוחן, אל תתייאשו - '''יש זמן לתקן עד המבחן'''.
בהצלחה.
===דוגמא לבחירת סוג התכנסות של טור עם פרמטר===
[[דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר|דוגמא]].
===ציוני תרגיל 1-4 לתלמידים של פרופ' זלצמן===
[[מדיה:10Infi1TargilGrades.pdf|ציונים]]
===דחיית הבוחן לתלמידים של זלצמן===
על מנת להקל עליכם ולא לבצע שלושה בחנים בשבוע, הוחלט לדחות בשבועיים את הבוחן באינפי לתאריך 06/12/10. הבוחן יכלול את כל החומר בסדרות ובטורים, ולא יכלול פונקציות (שתלמדו בהמשך).
===דוגמאות לתרגילים על סדרות קושי===
[[דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי| דוגמאות.]]
===תיקון בנושא נקודות הצטברות לתלמידים של ארז שיינר===
בכיתה השמטתי חלק מההגדרה, הנה ההגדרה המדוייקת:
תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math>, ותהי <math>L\in\mathbb{R}</math>. נקודה L נקראת נקודת הצטברות של A אם לכל קבוצה פתוחה שמכילה את L (נסמן אותה ב<math>N_L</math>) מתקיים <math>N_L\cap A\neq\phi</math> וגם <math>N_L\cap A\neq \{L\}</math>. במילים אחרות, קיימת נקודה <math>a\in N_L\cap A</math> כך ש <math>a\neq L</math>.
אני חושב שיותר פשוט להבין את ההגדרה הבאה ללא קבוצות פתוחות (אלו הגדרות שקולות):
תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math>, ותהי <math>L\in\mathbb{R}</math>. נקודה L נקראת נקודת הצטברות של A אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>y\in A</math> כך ש <math>0<|y-L|<\epsilon</math>.
הגדרה: '''קבוצה סגורה''' הינה קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה.
===תיקון לתרגיל 5===
שימו לב לתיקון בתרגיל 5 שאלה 4 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 8 בנובמבר 2010 (IST)
===קריאת פתרונות התרגילים באתר===
קריאת פתרונות התרגילים המפורסמים באתר הינה בגדר '''חובה''' לכל תלמידי הקורס '''ללא תלות בציון''' תרגילי הבית שהוגשו. לעיתים קרובות טעויות מהותיות מתפספסות בבדיקה ואחרי כן טעויות אלה מוצאות את דרכן אל עבר דפי המבחן. אם נדמה לך שפתרת תרגיל מסוים בדרך מהירה יותר מאשר זו הרשומה באתר, '''דאג להבין גם את הדרך בפתרון שלנו'''.
כמובן שאם מצאתם טעות בפתרון המפורסם באתר, עליכם להודיע על כך במהרה על מנת שנוכל לתקנו.
===הגדרת limsup ,liminf===
תהי סדרה <math>\{a_n\}</math>.
נגדיר סדרה <math>\{b_n\}</math> באופן הבא: <math>b_n=sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\}</math>,
אזי <math>\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=inf\{b_1,b_2,b_3,...\}</math>
נגדיר סדרה <math>\{c_n\}</math> באופן הבא: <math>c_n=inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\}</math>,
אזי <math>\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n=sup\{c_1,c_2,c_3,...\}</math>
במילים, אנחנו מחפשים את החסמים העליונים והתחתונים של הסדרה, שנשמרים לאורך הסדרה ולא נקבעים על ידי מספר סופי של איברים, לכן אנו מסתכלים על החסם של קבוצת חסמי הסדרה אחרי השמטת n איברים הראשונים.
===סדרות מונוטוניות===
